Cálculo Ejemplos

${(x^{4} + 9)}^{8} (4 x^{3} d x)$

Paso 1

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Paso 1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d (x^{3} x^{1})) d x$

Paso 1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d x^{3 + 1}) d x$

Paso 1.3

Suma $3$ y $1$ .

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d x^{4}) d x$

Paso 1.4

Mueve $4$ a la izquierda de ${(x^{4} + 9)}^{8}$ .

$\int 4 {(x^{4} + 9)}^{8} d x^{4} d x$

Paso 2

Dado que $4 d$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4 d$ fuera de la integral.

$4 d \int {(x^{4} + 9)}^{8} x^{4} d x$

Paso 3

Sea $u_{1} = x^{4} + 9$ . Entonces $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = x^{4} + 9$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x^{4} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 9]$

Paso 3.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 3.1.4

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Paso 3.1.5

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$4 x^{3}$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$4 d \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} \frac{1}{4} d u_{1}$

Paso 4

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{4}$ y ${u_{1}}^{8}$ .

$4 d \int \frac{{u_{1}}^{8}}{4} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

Paso 4.2

Combina $\frac{{u_{1}}^{8}}{4}$ y $\sqrt[4]{u_{1} - 9}$ .

$4 d \int \frac{{u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9}}{4} d u_{1}$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$4 d (\frac{1}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$d (\frac{4}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1})$

Paso 6.2

Combina $\frac{4}{4}$ y $d$ .

$\frac{4 d}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 d}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

Paso 6.3.2

Divide $d$ por $1$ .

$d \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

Paso 7

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = {u_{1}}^{8}$ y $d v = \sqrt[4]{u_{1} - 9}$ .

$d ({u_{1}}^{8} (\frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}) - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{4}{5}$ y ${u_{2}}^{\frac{5}{4}}$ .

$d ({u_{1}}^{8} \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

Paso 8.2

Combina ${u_{1}}^{8}$ y $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ .

$d (\frac{{u_{1}}^{8} (4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}})}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

Paso 8.3

Mueve $4$ a la izquierda de ${u_{1}}^{8}$ .

$d (\frac{4 \cdot {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

Paso 8.4

Combina $\frac{4}{5}$ y ${u_{2}}^{\frac{5}{4}}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

Paso 8.5

Combina $8$ y $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{8 (4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}})}{5} {u_{1}}^{7} d u_{1})$

Paso 8.6

Multiplica $4$ por $8$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} {u_{1}}^{7} d u_{1})$

Paso 8.7

Combina $\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ y ${u_{1}}^{7}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{7}}{5} d u_{1})$

Paso 9

Dado que $\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ fuera de la integral.

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - (\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} \int {u_{1}}^{7} d u_{1}))$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{7}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{8} {u_{1}}^{8}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{1}{8} {u_{1}}^{8} + C))$

Paso 11

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{8}$ y ${u_{1}}^{8}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{{u_{1}}^{8}}{8} + C))$

Paso 11.2

Reescribe $d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{{u_{1}}^{8}}{8} + C))$ como $d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$

Paso 11.3

Simplifica.

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Paso 11.3.1

Reordena los términos.

$d (\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$

Paso 11.3.2

Resta $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}$ de $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}$ .

$d \cdot 0 + C$

Paso 11.3.3

Multiplica $d$ por $0$ .

$0 + C$

Paso 11.3.4

Suma $0$ y $C$ .

$C$