Cálculo Ejemplos

$y = \arctan (\frac{x}{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

Paso 2.4

Multiplica $\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2 \cdot 1 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Paso 3.3

Combina los términos.

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Paso 3.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Paso 3.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{4}}$

Paso 3.3.3

Combina $2$ y $\frac{x^{2}}{4}$ .

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{4}}$

Paso 3.3.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 3.3.4.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2 + \frac{2 (x^{2})}{4}}$

Paso 3.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Paso 3.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Paso 3.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 + \frac{x^{2}}{2}}$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + 2}$

Paso 3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 3.5.2

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

Paso 3.5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

Paso 3.5.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 4}{2}}$

Paso 3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \frac{2}{x^{2} + 4}$

Paso 3.7

Multiplica $\frac{2}{x^{2} + 4}$ por $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + 4}$