Cálculo Ejemplos

$y = \ln (x \ln (x))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x \ln (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x \ln (x)$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 4.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x \ln (x)} \cdot 1 + \frac{1}{x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 5.2

Combina los términos.

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Paso 5.2.1

Multiplica $\frac{1}{x \ln (x)}$ por $1$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} + \frac{1}{x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{1}{x \ln (x)}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{1}{x \ln (x)} + \frac{\ln (x)}{x \ln (x)}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $\ln (x)$ .

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x \ln (x)} + \frac{\ln (x)}{x \ln (x)}$

Paso 5.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x \ln (x)} + \frac{1}{x}$