Cálculo Ejemplos

$y = \ln (\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}$ como ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x + 1}])$

Paso 9

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x - 1$ y $g (x) = x + 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 10

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 10.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 10.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 10.4

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 10.4.2

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 10.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 10.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 10.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 10.8

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.8.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 10.8.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}})$

Paso 10.8.3

Multiplica $\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}})$

Paso 10.8.4

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{2 \cdot {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x - 1}{x + 1})}^{- \frac{1}{2}})$

Paso 11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$\frac{1}{{(\frac{x - 1}{x + 1})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{2 {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 11.2

Aplica la regla del producto a $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{2 {(x + 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 11.3

Aplica la regla del producto a $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{x + 1 - (x - 1)}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}} (\frac{x + 1 - x - - 1}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.5

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.5.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x + 1 - x - - 1}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.5.2

Multiplica $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x + 1 - x - - 1}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x + 1 - x + 1}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.5.4

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{0 + 1 + 1}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.5.5

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1 + 1}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.5.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.5.7

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.5.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2}{2 {(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.5.7.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Paso 11.5.8

Multiplica $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ por $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.5.9

Mueve ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 11.5.10

Multiplica ${(x + 1)}^{2}$ por ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.5.10.1

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.5.10.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.5.10.3

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.5.10.4

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.5.10.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.5.10.6

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.5.10.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.5.10.6.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 11.5.11

Multiplica $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 11.5.12

Multiplica ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.5.12.1

Mueve ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.5.12.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.5.12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.5.12.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.5.12.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{1} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.5.13

Simplifica ${(x - 1)}^{1} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{(x - 1) {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 11.5.14

Mueve ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{(x - 1) {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 11.5.15

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.5.15.1

Multiplica ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ por ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.5.15.1.1

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{(x - 1) ({(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Paso 11.5.15.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{(x - 1) {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}$

Paso 11.5.15.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{(x - 1) {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 3}{2}}}$

Paso 11.5.15.1.4

Suma $- 1$ y $3$ .

$\frac{1}{(x - 1) {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 11.5.15.1.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{1}{(x - 1) {(x + 1)}^{1}}$

Paso 11.5.15.2

Simplifica $(x - 1) {(x + 1)}^{1}$ .

$\frac{1}{(x - 1) (x + 1)}$

Paso 11.6

Reordena los términos.

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$