Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\ln (x)}{e^{2 x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(e^{2 x})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(e^{2 x})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{2 x \cdot 2}}$

Paso 2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Paso 3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Paso 4

Combina $e^{2 x}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Paso 5

Multiplica $\frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Combinar.

$\frac{x (\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \frac{e^{2 x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{e^{2 x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

Paso 6.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

Paso 7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

Paso 7.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

Paso 7.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

Paso 8

Diferencia.

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Paso 8.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])))}{x e^{4 x}}$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x])))}{x e^{4 x}}$

Paso 8.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) (e^{2 x} \cdot 1))}{x e^{4 x}}$

Paso 8.4

Multiplica $e^{2 x}$ por $1$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{e^{2 x} - 2 x (\ln (x) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

Paso 9.1.2

Simplifica $- 2 \ln (x)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x^{2}) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

Paso 9.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{e^{2 x} - x (\ln (x^{2}) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

$\frac{e^{2 x} - x e^{2 x} \ln (x^{2})}{x e^{4 x}}$

Paso 9.2

Reordena los términos.

$\frac{- e^{2 x} x \ln (x^{2}) + e^{2 x}}{e^{4 x} x}$

Paso 9.3

Factoriza $e^{2 x}$ de $- e^{2 x} x \ln (x^{2}) + e^{2 x}$ .

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Paso 9.3.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $- e^{2 x} x \ln (x^{2})$ .

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x}}{e^{4 x} x}$

Paso 9.3.2

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x} \cdot 1}{e^{4 x} x}$

Paso 9.3.3

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2}) + 1)}{e^{4 x} x}$

Paso 9.4

Expande $\ln (x^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{e^{2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)}{e^{4 x} x}$

Paso 9.5

Cancela el factor común de $e^{2 x}$ y $e^{4 x}$ .

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Paso 9.5.1

Factoriza $e^{4 x}$ de $e^{2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)$ .

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} x}$

Paso 9.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.5.2.1

Factoriza $e^{4 x}$ de $e^{4 x} x$ .

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} (x)}$

Paso 9.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} x}$

Paso 9.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)}{x}$

Paso 9.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 2 x \ln (x) + 1)}{x}$

Paso 9.7

Factoriza $- 1$ de $- 2 x \ln (x)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x)) + 1)}{x}$

Paso 9.8

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x)) - 1 (- 1))}{x}$

Paso 9.9

Factoriza $- 1$ de $- (2 x \ln (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x) - 1))}{x}$

Paso 9.10

Reescribe $- (2 x \ln (x) - 1)$ como $- 1 (2 x \ln (x) - 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (2 x \ln (x) - 1))}{x}$

Paso 9.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{e^{- 2 x} (2 x \ln (x) - 1)}{x}$