Cálculo Ejemplos

$y = \log_{5} (\sqrt{x^{2} - 1})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} - 1}$ como ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{5} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log_{5} (x)$ y $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

La derivada de $\log_{5} (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Paso 4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Paso 5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Paso 7.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Paso 9

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Paso 10

Mueve ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Paso 11

Multiplica $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5))} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 13

Simplifica la expresión.

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Paso 13.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 13.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 14

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 14.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 15

Simplifica.

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 16

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 17

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 18

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} (2 x + 0)$

Paso 19

Simplifica los términos.

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Paso 19.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} (2 x)$

Paso 19.2

Combina $2$ y $\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)}$ .

$\frac{2}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} x$

Paso 19.3

Combina $\frac{2}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)}$

Paso 19.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 19.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)}$

Paso 19.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x}{(x^{2} - 1) \ln (5)}$

Paso 20

Simplifica.

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Paso 20.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x}{x^{2} \ln (5) - 1 \ln (5)}$

Paso 20.2

Reescribe $- 1 \ln (5)$ como $- \ln (5)$ .

$\frac{x}{x^{2} \ln (5) - \ln (5)}$