Cálculo Ejemplos

$y = x^{5 x}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{5 x}$ como $e^{\ln (x^{5 x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{5 x})}]$

Paso 1.2

Expande $\ln (x^{5 x})$ ; para ello, mueve $5 x$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{5 x \ln (x)}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 5 x \ln (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x \ln (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [5 x \ln (x)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x \ln (x)$ .

$e^{5 x \ln (x)} \frac{d}{d x} [5 x \ln (x)]$

Paso 3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x \ln (x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$e^{5 x \ln (x)} (5 \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Paso 4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{5 x \ln (x)} (5 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{5 x \ln (x)} (5 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 6.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{5 x \ln (x)} (5 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$e^{5 x \ln (x)} (5 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$e^{5 x \ln (x)} (5 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{5 x \ln (x)} (5 (1 + \ln (x) \cdot 1))$

Paso 6.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$e^{5 x \ln (x)} (5 (1 + \ln (x)))$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{5 x \ln (x)} (5 \cdot 1 + 5 \ln (x))$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{5 x \ln (x)} (5 \cdot 1) + e^{5 x \ln (x)} (5 \ln (x))$

Paso 7.3

Combina los términos.

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Paso 7.3.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$e^{5 x \ln (x)} \cdot 5 + e^{5 x \ln (x)} (5 \ln (x))$

Paso 7.3.2

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{5 x \ln (x)}$ .

$5 e^{5 x \ln (x)} + e^{5 x \ln (x)} (5 \ln (x))$

Paso 7.4

Reordena los términos.

$5 e^{5 x \ln (x)} \ln (x) + 5 e^{5 x \ln (x)}$