Cálculo Ejemplos

$y = x^{1 - x}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 1.1

Reescribe $x^{1 - x}$ como $e^{\ln (x^{1 - x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{1 - x})}]$

Paso 1.2

Expande $\ln (x^{1 - x})$ ; para ello, mueve $1 - x$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{(1 - x) \ln (x)}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = (1 - x) \ln (x)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $(1 - x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $(1 - x) \ln (x)$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [(1 - x) \ln (x)]$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 1 - x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [1 - x])$

Paso 4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [1 - x])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Paso 5.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Paso 5.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 5.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 1 \cdot 1))$

Paso 5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot - 1)$

Paso 5.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\ln (x)$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - 1 \cdot \ln (x))$

Paso 5.6.3

Reescribe $- 1 \ln (x)$ como $- \ln (x)$ .

$e^{(1 - x) \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - \ln (x))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{1 \ln (x) - x \ln (x)} ((1 - x) \frac{1}{x} - \ln (x))$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{1 \ln (x) - x \ln (x)} (1 \frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

Paso 6.3

Combina los términos.

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Paso 6.3.1

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 \frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

Paso 6.3.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - x \frac{1}{x} - \ln (x))$

Paso 6.3.3

Combina $\frac{1}{x}$ y $x$ .

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - \frac{x}{x} - \ln (x))$

Paso 6.3.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.3.4.1

Cancela el factor común.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - \frac{x}{x} - \ln (x))$

Paso 6.3.4.2

Reescribe la expresión.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - 1 \cdot 1 - \ln (x))$

Paso 6.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} (\frac{1}{x} - 1 - \ln (x))$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{\ln (x) - x \ln (x)} \frac{1}{x} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot - 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

Paso 6.5

Simplifica.

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Paso 6.5.1

Combina $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot - 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

Paso 6.5.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - 1 \cdot e^{\ln (x) - x \ln (x)} + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x))$

Paso 6.5.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - 1 \cdot e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 6.6

Reescribe $- 1 e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ como $- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 6.7

Para escribir $- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot \frac{x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 6.8

Combina $- e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ y $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)}}{x} + \frac{- e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 6.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 6.10

Factoriza $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ de $e^{\ln (x) - x \ln (x)} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x$ .

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Paso 6.10.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 - e^{\ln (x) - x \ln (x)} x}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 6.10.2

Factoriza $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ de $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} x$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 6.10.3

Factoriza $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ de $e^{\ln (x) - x \ln (x)} \cdot 1 + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- x)$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$

Paso 6.11

Para escribir $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) \cdot \frac{x}{x}$

Paso 6.12

Combina $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x)$ y $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x)}{x} + \frac{- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Paso 6.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Paso 6.14

Factoriza $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ de $e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) - e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x$ .

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Paso 6.14.1

Factoriza $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ de $- e^{\ln (x) - x \ln (x)} \ln (x) x$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x) x)}{x}$

Paso 6.14.2

Factoriza $e^{\ln (x) - x \ln (x)}$ de $e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x) + e^{\ln (x) - x \ln (x)} (- \ln (x) x)$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - \ln (x) x)}{x}$

Paso 6.15

Reordena los factores en $\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - \ln (x) x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (x) - x \ln (x)} (1 - x - x \ln (x))}{x}$