Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{5} + 7}{x^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{5} + 7$ y $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 7] - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 7] - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 7] - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [7]) - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{x^{3} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [7]) - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.4

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{3} (5 x^{4} + 0) - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.5

Suma $5 x^{4}$ y $0$ .

$\frac{x^{3} (5 x^{4}) - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3

Multiplica $x^{3}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} x^{3} \cdot 5 - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{4 + 3} \cdot 5 - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.3

Suma $4$ y $3$ .

$\frac{x^{7} \cdot 5 - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{7}$ .

$\frac{5 \cdot x^{7} - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{5 x^{7} - (x^{5} + 7) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Paso 6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 6.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{5 x^{7} - 3 (x^{5} + 7) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 6.2

Factoriza $x^{2}$ de $5 x^{7} - 3 (x^{5} + 7) x^{2}$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $5 x^{7}$ .

$\frac{x^{2} (5 x^{5}) - 3 (x^{5} + 7) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 6.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 (x^{5} + 7) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (5 x^{5}) + x^{2} (- 3 (x^{5} + 7))}{x^{6}}$

Paso 6.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (5 x^{5}) + x^{2} (- 3 (x^{5} + 7))$ .

$\frac{x^{2} (5 x^{5} - 3 (x^{5} + 7))}{x^{6}}$

Paso 7

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (5 x^{5} - 3 (x^{5} + 7))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 7.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (5 x^{5} - 3 (x^{5} + 7))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{5 x^{5} - 3 (x^{5} + 7)}{x^{4}}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x^{5} - 3 x^{5} - 3 \cdot 7}{x^{4}}$

Paso 8.2

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $- 3$ por $7$ .

$\frac{5 x^{5} - 3 x^{5} - 21}{x^{4}}$

Paso 8.2.2

Resta $3 x^{5}$ de $5 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 21}{x^{4}}$