Cálculo Ejemplos

$y = \frac{e^{x}}{2 x + 1}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - 2 e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{2 x e^{x} + e^{x} - 2 e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 4.2.2

Resta $2 e^{x}$ de $e^{x}$ .

$\frac{2 x e^{x} - e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$\frac{2 e^{x} x - e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 4.4

Factoriza $e^{x}$ de $2 e^{x} x - e^{x}$ .

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Paso 4.4.1

Factoriza $e^{x}$ de $2 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (2 x) - e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.2

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 4.4.3

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$