Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2} - 1$ y $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{3} (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 2.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{x^{3} (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Mueve $x$ .

$\frac{x \cdot x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{1 + 3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3.3

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{x^{4} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$\frac{2 \cdot x^{4} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{2 x^{4} - (x^{2} - 1) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Paso 6

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 6.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{4} - 3 (x^{2} - 1) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 6.2

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{4} - 3 (x^{2} - 1) x^{2}$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $2 x^{4}$ .

$\frac{x^{2} (2 x^{2}) - 3 (x^{2} - 1) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 6.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 (x^{2} - 1) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 1))}{x^{6}}$

Paso 6.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 1))$ .

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{6}}$

Paso 7

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 7.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 7.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1)}{x^{4}}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 1}{x^{4}}$

Paso 8.2

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x^{2} + 3}{x^{4}}$

Paso 8.2.2

Resta $3 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3}{x^{4}}$

Paso 8.3

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 3}{x^{4}}$

Paso 8.4

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- 3)}{x^{4}}$

Paso 8.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Paso 8.6

Reescribe $- (x^{2} - 3)$ como $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Paso 8.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} - 3}{x^{4}}$