Cálculo Ejemplos

$y = {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ y $g (x) = 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Paso 2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Paso 3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Paso 5.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Paso 6

Combina $\frac{3}{2}$ y ${(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 5 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 8

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 10

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 11

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 13

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 14

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5 + 0)$

Paso 15

Suma $6 x + 5$ y $0$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5)$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Reordena los factores de $\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5)$ .

$(6 x + 5) \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 16.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 16.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 16.3.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$2 (3 x) \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 16.3.2

Cancela el factor común.

$2 (3 x) \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 16.3.3

Reescribe la expresión.

$3 x (3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 16.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 16.5

Multiplica $5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

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Paso 16.5.1

Combina $5$ y $\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{5 (3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2}$

Paso 16.5.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 16.6

Para escribir $9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 16.7

Combina $9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 16.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 16.9

Simplifica el numerador.

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Paso 16.9.1

Factoriza $3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 16.9.1.1

Reordena la expresión.

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Paso 16.9.1.1.1

Mueve ${(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 x \cdot 2 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 16.9.1.1.2

Mueve $x$ .

$\frac{9 \cdot 2 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 16.9.1.2

Factoriza $3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $9 \cdot 2 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2 x) + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 16.9.1.3

Factoriza $3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2 x) + 3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (5)}{2}$

Paso 16.9.1.4

Factoriza $3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ de $3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2 x) + 3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (5)$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2 x + 5)}{2}$

Paso 16.9.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (6 x + 5)}{2}$