Cálculo Ejemplos

$y = {(x^{2} + 2)}^{2} {(x^{4} + 4)}^{4}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(x^{2} + 2)}^{2}$ y $g (x) = {(x^{4} + 4)}^{4}$ .

${(x^{2} + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 4)}^{4}] + {(x^{4} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{2}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x^{4} + 4$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{4} + 4$ .

${(x^{2} + 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 4]) + {(x^{4} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

${(x^{2} + 2)}^{2} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 4]) + {(x^{4} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{2}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{4} + 4$ .

${(x^{2} + 2)}^{2} (4 {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 4]) + {(x^{4} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{2}]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Mueve $4$ a la izquierda de ${(x^{2} + 2)}^{2}$ .

$4 \cdot {(x^{2} + 2)}^{2} {(x^{4} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 4] + {(x^{4} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{2}]$

Paso 3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 {(x^{2} + 2)}^{2} {(x^{4} + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4]) + {(x^{4} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{2}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 {(x^{2} + 2)}^{2} {(x^{4} + 4)}^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4]) + {(x^{4} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{2}]$

Paso 3.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 {(x^{2} + 2)}^{2} {(x^{4} + 4)}^{3} (4 x^{3} + 0) + {(x^{4} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{2}]$

Paso 3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.1

Suma $4 x^{3}$ y $0$ .

$4 {(x^{2} + 2)}^{2} {(x^{4} + 4)}^{3} (4 x^{3}) + {(x^{4} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{2}]$

Paso 3.5.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$16 {(x^{2} + 2)}^{2} {(x^{4} + 4)}^{3} x^{3} + {(x^{4} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{2}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x^{2} + 2$ .

$16 {(x^{2} + 2)}^{2} {(x^{4} + 4)}^{3} x^{3} + {(x^{4} + 4)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$16 {(x^{2} + 2)}^{2} {(x^{4} + 4)}^{3} x^{3} + {(x^{4} + 4)}^{4} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} + 2$ .

$16 {(x^{2} + 2)}^{2} {(x^{4} + 4)}^{3} x^{3} + {(x^{4} + 4)}^{4} (2 (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x^{4} + 4)}^{4}$ .

$16 {(x^{2} + 2)}^{2} {(x^{4} + 4)}^{3} x^{3} + 2 \cdot {(x^{4} + 4)}^{4} (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Paso 5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$16 {(x^{2} + 2)}^{2} {(x^{4} + 4)}^{3} x^{3} + 2 {(x^{4} + 4)}^{4} (x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$16 {(x^{2} + 2)}^{2} {(x^{4} + 4)}^{3} x^{3} + 2 {(x^{4} + 4)}^{4} (x^{2} + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 5.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$16 {(x^{2} + 2)}^{2} {(x^{4} + 4)}^{3} x^{3} + 2 {(x^{4} + 4)}^{4} (x^{2} + 2) (2 x + 0)$

Paso 5.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$16 {(x^{2} + 2)}^{2} {(x^{4} + 4)}^{3} x^{3} + 2 {(x^{4} + 4)}^{4} (x^{2} + 2) (2 x)$

Paso 5.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$16 {(x^{2} + 2)}^{2} {(x^{4} + 4)}^{3} x^{3} + 4 {(x^{4} + 4)}^{4} (x^{2} + 2) x$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Factoriza $4 (x^{2} + 2) {(x^{4} + 4)}^{3} x$ de $16 {(x^{2} + 2)}^{2} {(x^{4} + 4)}^{3} x^{3} + 4 {(x^{4} + 4)}^{4} (x^{2} + 2) x$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $4 (x^{2} + 2) {(x^{4} + 4)}^{3} x$ de $16 {(x^{2} + 2)}^{2} {(x^{4} + 4)}^{3} x^{3}$ .

$4 (x^{2} + 2) {(x^{4} + 4)}^{3} x (4 (x^{2} + 2) x^{2}) + 4 {(x^{4} + 4)}^{4} (x^{2} + 2) x$

Paso 6.1.2

Factoriza $4 (x^{2} + 2) {(x^{4} + 4)}^{3} x$ de $4 {(x^{4} + 4)}^{4} (x^{2} + 2) x$ .

$4 (x^{2} + 2) {(x^{4} + 4)}^{3} x (4 (x^{2} + 2) x^{2}) + 4 (x^{2} + 2) {(x^{4} + 4)}^{3} x (x^{4} + 4)$

Paso 6.1.3

Factoriza $4 (x^{2} + 2) {(x^{4} + 4)}^{3} x$ de $4 (x^{2} + 2) {(x^{4} + 4)}^{3} x (4 (x^{2} + 2) x^{2}) + 4 (x^{2} + 2) {(x^{4} + 4)}^{3} x (x^{4} + 4)$ .

$4 (x^{2} + 2) {(x^{4} + 4)}^{3} x (4 (x^{2} + 2) x^{2} + x^{4} + 4)$

Paso 6.2

Reordena los factores de $4 (x^{2} + 2) {(x^{4} + 4)}^{3} x (4 (x^{2} + 2) x^{2} + x^{4} + 4)$ .

$4 x {(x^{4} + 4)}^{3} (4 (x^{2} + 2) x^{2} + x^{4} + 4) (x^{2} + 2)$