Cálculo Ejemplos

$y = (3 - x^{2}) (x^{3} - x + 1)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 3 - x^{2}$ y $g (x) = x^{3} - x + 1$ .

$(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} - x + 1] + (x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Paso 2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Paso 2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Paso 2.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1 + 0) + (x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Paso 2.7

Suma $3 x^{2} - 1$ y $0$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 1) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.9

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 1) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 1) (- (2 x))$

Paso 2.13

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + (x^{3} - x + 1) (- 2 x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 - x^{2}) (3 x^{2} - 1) + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 - x^{2}) (3 x^{2}) + (3 - x^{2}) \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (3 x^{2}) - x^{2} (3 x^{2}) + (3 - x^{2}) \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (3 x^{2}) - x^{2} (3 x^{2}) + 3 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Paso 3.5

Combina los términos.

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Paso 3.5.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$9 x^{2} - x^{2} (3 x^{2}) + 3 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Paso 3.5.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$9 x^{2} - 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Paso 3.5.3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.3.1

Mueve $x^{2}$ .

$9 x^{2} - 3 (x^{2} x^{2}) + 3 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Paso 3.5.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 x^{2} - 3 x^{2 + 2} + 3 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Paso 3.5.3.3

Suma $2$ y $2$ .

$9 x^{2} - 3 x^{4} + 3 \cdot - 1 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Paso 3.5.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$9 x^{2} - 3 x^{4} - 3 - x^{2} \cdot - 1 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Paso 3.5.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$9 x^{2} - 3 x^{4} - 3 + 1 x^{2} + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Paso 3.5.6

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$9 x^{2} - 3 x^{4} - 3 + x^{2} + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Paso 3.5.7

Suma $9 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 + x^{3} (- 2 x) - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Paso 3.5.8

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.8.1

Mueve $x$ .

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 + x \cdot x^{3} \cdot - 2 - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Paso 3.5.8.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 3.5.8.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 + x^{1} x^{3} \cdot - 2 - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Paso 3.5.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 + x^{1 + 3} \cdot - 2 - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Paso 3.5.8.3

Suma $1$ y $3$ .

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 + x^{4} \cdot - 2 - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Paso 3.5.9

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 - 2 \cdot x^{4} - x (- 2 x) + 1 (- 2 x)$

Paso 3.5.10

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} + 2 x \cdot x + 1 (- 2 x)$

Paso 3.5.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} + 2 (x^{1} x) + 1 (- 2 x)$

Paso 3.5.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 (- 2 x)$

Paso 3.5.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} + 2 x^{1 + 1} + 1 (- 2 x)$

Paso 3.5.14

Suma $1$ y $1$ .

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (- 2 x)$

Paso 3.5.15

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$10 x^{2} - 3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} + 2 x^{2} - 2 x$

Paso 3.5.16

Resta $2 x^{4}$ de $- 3 x^{4}$ .

$10 x^{2} - 5 x^{4} - 3 + 2 x^{2} - 2 x$

Paso 3.5.17

Suma $10 x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 5 x^{4} - 3 - 2 x$

Paso 3.6

Reordena los términos.

$- 5 x^{4} + 12 x^{2} - 2 x - 3$