Cálculo Ejemplos

$y = (5 x^{2} + 2) (3 x - 2)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 5 x^{2} + 2$ y $g (x) = 3 x - 2$ .

$(5 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [3 x - 2] + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 2]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(5 x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 2]$

Paso 2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} + 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 2]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(5 x^{2} + 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 2]$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$(5 x^{2} + 2) (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 2]$

Paso 2.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(5 x^{2} + 2) (3 + 0) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 2]$

Paso 2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$(5 x^{2} + 2) \cdot 3 + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 2]$

Paso 2.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $5 x^{2} + 2$ .

$3 \cdot (5 x^{2} + 2) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 2]$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 (5 x^{2} + 2) + (3 x - 2) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 2.8

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (5 x^{2} + 2) + (3 x - 2) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (5 x^{2} + 2) + (3 x - 2) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 2.10

Multiplica $2$ por $5$ .

$3 (5 x^{2} + 2) + (3 x - 2) (10 x + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 2.11

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (5 x^{2} + 2) + (3 x - 2) (10 x + 0)$

Paso 2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 2.12.1

Suma $10 x$ y $0$ .

$3 (5 x^{2} + 2) + (3 x - 2) (10 x)$

Paso 2.12.2

Mueve $10$ a la izquierda de $3 x - 2$ .

$3 (5 x^{2} + 2) + 10 \cdot (3 x - 2) x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (5 x^{2}) + 3 \cdot 2 + 10 (3 x - 2) x$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (5 x^{2}) + 3 \cdot 2 + (10 (3 x) + 10 \cdot - 2) x$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (5 x^{2}) + 3 \cdot 2 + 10 (3 x) x + 10 \cdot - 2 x$

Paso 3.4

Combina los términos.

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Paso 3.4.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$15 x^{2} + 3 \cdot 2 + 10 (3 x) x + 10 \cdot - 2 x$

Paso 3.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$15 x^{2} + 6 + 10 (3 x) x + 10 \cdot - 2 x$

Paso 3.4.3

Multiplica $3$ por $10$ .

$15 x^{2} + 6 + 30 x \cdot x + 10 \cdot - 2 x$

Paso 3.4.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$15 x^{2} + 6 + 30 (x^{1} x) + 10 \cdot - 2 x$

Paso 3.4.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$15 x^{2} + 6 + 30 (x^{1} x^{1}) + 10 \cdot - 2 x$

Paso 3.4.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$15 x^{2} + 6 + 30 x^{1 + 1} + 10 \cdot - 2 x$

Paso 3.4.7

Suma $1$ y $1$ .

$15 x^{2} + 6 + 30 x^{2} + 10 \cdot - 2 x$

Paso 3.4.8

Multiplica $10$ por $- 2$ .

$15 x^{2} + 6 + 30 x^{2} - 20 x$

Paso 3.4.9

Suma $15 x^{2}$ y $30 x^{2}$ .

$45 x^{2} + 6 - 20 x$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$45 x^{2} - 20 x + 6$