Cálculo Ejemplos

$x {(12 - 2 x)}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(12 - 2 x)}^{2}$ como $(12 - 2 x) (12 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((12 - 2 x) (12 - 2 x))]$

Paso 2

Expande $(12 - 2 x) (12 - 2 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (12 (12 - 2 x) - 2 x (12 - 2 x))]$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (12 \cdot 12 + 12 (- 2 x) - 2 x (12 - 2 x))]$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (12 \cdot 12 + 12 (- 2 x) - 2 x \cdot 12 - 2 x (- 2 x))]$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $12$ por $12$ .

$\frac{d}{d x} [x (144 + 12 (- 2 x) - 2 x \cdot 12 - 2 x (- 2 x))]$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 2$ por $12$ .

$\frac{d}{d x} [x (144 - 24 x - 2 x \cdot 12 - 2 x (- 2 x))]$

Paso 3.1.3

Multiplica $12$ por $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (144 - 24 x - 24 x - 2 x (- 2 x))]$

Paso 3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [x (144 - 24 x - 24 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

Paso 3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (144 - 24 x - 24 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (144 - 24 x - 24 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

Paso 3.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [x (144 - 24 x - 24 x + 4 x^{2})]$

Paso 3.2

Resta $24 x$ de $- 24 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (144 - 48 x + 4 x^{2})]$

Paso 4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 144 - 48 x + 4 x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [144 - 48 x + 4 x^{2}] + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $144 - 48 x + 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [144] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [144] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.2

Como $144$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $144$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.4

Como $- 48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 48 x$ con respecto a $x$ es $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (- 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.6

Multiplica $- 48$ por $1$ .

$x (- 48 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.7

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- 48 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (- 48 + 4 (2 x)) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.9

Multiplica $2$ por $4$ .

$x (- 48 + 8 x) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (- 48 + 8 x) + (144 - 48 x + 4 x^{2}) \cdot 1$

Paso 5.11

Multiplica $144 - 48 x + 4 x^{2}$ por $1$ .

$x (- 48 + 8 x) + 144 - 48 x + 4 x^{2}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot - 48 + x (8 x) + 144 - 48 x + 4 x^{2}$

Paso 6.2

Combina los términos.

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Paso 6.2.1

Mueve $- 48$ a la izquierda de $x$ .

$- 48 \cdot x + x (8 x) + 144 - 48 x + 4 x^{2}$

Paso 6.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 48 x + 8 (x^{1} x) + 144 - 48 x + 4 x^{2}$

Paso 6.2.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 48 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 144 - 48 x + 4 x^{2}$

Paso 6.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 48 x + 8 x^{1 + 1} + 144 - 48 x + 4 x^{2}$

Paso 6.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$- 48 x + 8 x^{2} + 144 - 48 x + 4 x^{2}$

Paso 6.2.6

Resta $48 x$ de $- 48 x$ .

$- 96 x + 8 x^{2} + 144 + 4 x^{2}$

Paso 6.2.7

Suma $8 x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$- 96 x + 12 x^{2} + 144$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$12 x^{2} - 96 x + 144$