Cálculo Ejemplos

$\arctan (e^{2 x})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = e^{2 x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 1.2

La derivada de $\arctan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{1 + {(e^{2 x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(e^{2 x})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{1}{1 + e^{4 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + e^{4 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{1 + e^{4 x}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Combina $e^{2 x}$ y $\frac{1}{1 + e^{4 x}}$ .

$\frac{e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 4.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3

Combina $2$ y $\frac{e^{2 x}}{1 + e^{4 x}}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}} \cdot 1$

Paso 4.5

Multiplica $\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}}$ por $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{1 + e^{4 x}}$