Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{2 x - 1}$

Paso 1

Escribe $f (x) = e^{2 x - 1}$ como una ecuación.

$y = e^{2 x - 1}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = e^{2 y - 1}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $e^{2 y - 1} = x$ .

$e^{2 y - 1} = x$

Paso 3.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{2 y - 1}) = \ln (x)$

Paso 3.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Expande $\ln (e^{2 y - 1})$ ; para ello, mueve $2 y - 1$ fuera del logaritmo.

$(2 y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

Paso 3.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(2 y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

Paso 3.3.3

Multiplica $2 y - 1$ por $1$ .

$2 y - 1 = \ln (x)$

Paso 3.4

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y = \ln (x) + 1$

Paso 3.5

Divide cada término en $2 y = \ln (x) + 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $2 y = \ln (x) + 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ es la inversa de $f (x) = e^{2 x - 1}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (e^{2 x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $2 x - 1$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \ln (e) + 1}{2}$

Paso 5.2.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}$

Paso 5.2.4.3

Multiplica $2 x - 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Paso 5.2.5

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.5.1

Combina los términos opuestos en $2 x - 1 + 1$ .

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Paso 5.2.5.1.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Paso 5.2.5.1.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.5.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Reescribe $\frac{\ln (x)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}$

Paso 5.3.3.1.2

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (x)$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

Paso 5.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Paso 5.3.3.3

Simplifica $2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Paso 5.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

Paso 5.3.3.5

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.5.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.3.3.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Paso 5.3.3.5.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.5.1.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Paso 5.3.3.5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

Paso 5.3.3.5.2

Simplifica.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $\ln (x) + 1 - 1$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

Paso 5.3.4.2

Suma $\ln (x)$ y $0$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

Paso 5.3.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ es la inversa de $f (x) = e^{2 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$