Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{\sqrt{x} + 21} + e^{p}$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{\sqrt{x} + 21} + e^{p}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{\sqrt{x} + 21}] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\sqrt{x} + 21}] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{\sqrt{x} + 21}]$ .

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 21$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{2}} + 21$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 21] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 21] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}} + 21$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 21] + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{\frac{1}{2}} + 21$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [21]$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [21]) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [21]) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Paso 2.5

Como $21$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $21$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Paso 2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Paso 2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Paso 2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Paso 2.11

Suma $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$ y $0$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Paso 2.12

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Paso 2.13

Combina $e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} + 21} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Paso 2.14

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [e^{p}]$

Paso 3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1

Como $e^{p}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $e^{p}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Paso 3.2

Suma $\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} + 21}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$