Cálculo Ejemplos

$x^{3} < 4 x$

Paso 1

Resta $4 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{3} - 4 x < 0$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{3} - 4 x = 0$

Paso 3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 4 x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $x$ de $- 4 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$x (x^{2} - 4) = 0$

Paso 3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 3.3

Factoriza.

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Paso 3.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 3.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 5

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 6

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 6.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 7

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 7.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2, 2$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

${(- 4)}^{3} < 4 (- 4)$

Paso 10.1.3

$- 64$ del lado izquierdo es menor que $- 16$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 1$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $- 1$ en la desigualdad original.

${(- 1)}^{3} < 4 (- 1)$

Paso 10.2.3

$- 1$ del lado izquierdo no es menor que $- 4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $1$ en la desigualdad original.

${(1)}^{3} < 4 (1)$

Paso 10.3.3

$1$ del lado izquierdo es menor que $4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 10.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{3} < 4 (4)$

Paso 10.4.3

$64$ del lado izquierdo no es menor que $16$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Verdadero

$x > 2$ Falso

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 2$ o $0 < x < 2$

Paso 12

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 2) \cup (0, 2)$

Paso 13