Cálculo Ejemplos

${(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3}} = x^{2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} ({(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ y $g (x) = 11 x + 3 y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $11 x + 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $11 x + 3 y$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Paso 2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Paso 2.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Paso 2.5.2

Resta $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Paso 2.6

Combina fracciones.

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Paso 2.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Paso 2.6.2

Combina $\frac{1}{3}$ y ${(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Paso 2.6.3

Mueve ${(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $11 x + 3 y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Paso 2.8

Como $11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $11 x$ con respecto a $x$ es $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Paso 2.10

Multiplica $11$ por $1$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Paso 2.11

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.12

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + 3 y')$

Paso 2.13

Simplifica.

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Paso 2.13.1

Reordena los factores de $\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + 3 y')$ .

$(11 + 3 y') \frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 2.13.2

Multiplica $11 + 3 y'$ por $\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} = 2 x$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}) = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 \frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Paso 5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{11 + 3 y'}{{(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Paso 5.2.1.1.3

Cancela el factor común de ${(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Paso 5.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{11 + 3 y'}{{(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Paso 5.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$11 + 3 y' = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Paso 5.2.1.1.4

Reordena $11$ y $3 y'$ .

$3 y' + 11 = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 y' + 11 = 2 \cdot 3 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 y' + 11 = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Resta $11$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y' = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11$

Paso 5.3.2

Divide cada término en $3 y' = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11$ por $3$ y simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Divide cada término en $3 y' = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11$ por $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 11}{3}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 11}{3}$

Paso 5.3.2.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 11}{3}$

Paso 5.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.3.1.1

Factoriza $3$ de $6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = \frac{3 (2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{- 11}{3}$

Paso 5.3.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$y' = \frac{3 (2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} + \frac{- 11}{3}$

Paso 5.3.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 (2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{- 11}{3}$

Paso 5.3.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{1} + \frac{- 11}{3}$

Paso 5.3.2.3.1.2.4

Divide $2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$y' = 2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 11}{3}$

Paso 5.3.2.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = 2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - \frac{11}{3}$

Paso 5.3.2.3.2

Para escribir $2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y' = 2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{11}{3}$

Paso 5.3.2.3.3

Combina $2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ y $\frac{3}{3}$ .

$y' = \frac{2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{11}{3}$

Paso 5.3.2.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3 - 11}{3}$

Paso 5.3.2.3.5

Multiplica $3$ por $2$ .

$y' = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11}{3}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11}{3}$