Cálculo Ejemplos

$x y^{3} + x y = 8$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x y^{3} + x y) = \frac{d}{d x} (8)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y^{3} + x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2.5

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.2.6

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + x y' + y \cdot 1$

Paso 2.3.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$3 x y^{2} y' + y^{3} + x y' + y$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$y^{3} + 3 y^{2} x y' + x y' + y$

Paso 3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y^{3} + 3 y^{2} x y' + x y' + y = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $y^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} x y' + x y' + y = - y^{3}$

Paso 5.1.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} x y' + x y' = - y^{3} - y$

Paso 5.2

Factoriza $x y'$ de $3 y^{2} x y' + x y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x y'$ de $3 y^{2} x y'$ .

$x y' (3 y^{2}) + x y' = - y^{3} - y$

Paso 5.2.2

Factoriza $x y'$ de $x y'$ .

$x y' (3 y^{2}) + x y' \cdot 1 = - y^{3} - y$

Paso 5.2.3

Factoriza $x y'$ de $x y' (3 y^{2}) + x y' \cdot 1$ .

$x y' (3 y^{2} + 1) = - y^{3} - y$

Paso 5.3

Divide cada término en $x y' (3 y^{2} + 1) = - y^{3} - y$ por $x (3 y^{2} + 1)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $x y' (3 y^{2} + 1) = - y^{3} - y$ por $x (3 y^{2} + 1)$ .

$\frac{x y' (3 y^{2} + 1)}{x (3 y^{2} + 1)} = \frac{- y^{3}}{x (3 y^{2} + 1)} + \frac{- y}{x (3 y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' (3 y^{2} + 1)}{x (3 y^{2} + 1)} = \frac{- y^{3}}{x (3 y^{2} + 1)} + \frac{- y}{x (3 y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (3 y^{2} + 1)}{3 y^{2} + 1} = \frac{- y^{3}}{x (3 y^{2} + 1)} + \frac{- y}{x (3 y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $3 y^{2} + 1$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (3 y^{2} + 1)}{3 y^{2} + 1} = \frac{- y^{3}}{x (3 y^{2} + 1)} + \frac{- y}{x (3 y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y^{3}}{x (3 y^{2} + 1)} + \frac{- y}{x (3 y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{3}}{x (3 y^{2} + 1)} + \frac{- y}{x (3 y^{2} + 1)}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{3}}{x (3 y^{2} + 1)} - \frac{y}{x (3 y^{2} + 1)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{3}}{x (3 y^{2} + 1)} - \frac{y}{x (3 y^{2} + 1)}$