Cálculo Ejemplos

$y = {\sin (x)}^{x}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\sin (x)}^{x})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 3.1.1

Reescribe ${\sin (x)}^{x}$ como $e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}]$

Paso 3.1.2

Expande $\ln ({\sin (x)}^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\sin (x))}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x \ln (\sin (x))$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x \ln (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x \ln (\sin (x))$ .

$e^{x \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$e^{x \ln (\sin (x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.2

La derivada de $\ln (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.5

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.6

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.7.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \cdot 1)$

Paso 3.7.2

Multiplica $\ln (\sin (x))$ por $1$ .

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)))$

Paso 3.8

Simplifica.

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Paso 3.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x))) + e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

Paso 3.8.2

Elimina los paréntesis.

$e^{x \ln (\sin (x))} x \csc (x) \cos (x) + e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

Paso 3.8.3

Reordena los términos.

$e^{x \ln (\sin (x))} x \cos (x) \csc (x) + e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = e^{x \ln (\sin (x))} x \cos (x) \csc (x) + e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{x \ln (\sin (x))} x \cos (x) \csc (x) + e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$