Cálculo Ejemplos

$\sin (y) = 5 x^{4} - 5$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\sin (y)) = \frac{d}{d x} (5 x^{4} - 5)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (y) y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{4} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 3.2.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.3.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$20 x^{3} + 0$

Paso 3.3.2

Suma $20 x^{3}$ y $0$ .

$20 x^{3}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\cos (y) y' = 20 x^{3}$

Paso 5

Divide cada término en $\cos (y) y' = 20 x^{3}$ por $\cos (y)$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $\cos (y) y' = 20 x^{3}$ por $\cos (y)$ .

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $\cos (y)$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Paso 5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$