Cálculo Ejemplos

$\cos (y^{2}) + x = e^{y}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\cos (y^{2}) + x) = \frac{d}{d x} (e^{y})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (y^{2}) + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (y^{2})] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (y^{2})] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (y^{2})]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = y^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.1.2

La derivada de $\cos (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y^{2}$ .

$- \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$- \sin (y^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \sin (y^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$- \sin (y^{2}) (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \sin (y^{2}) (2 y y') + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (y^{2}) (y y') + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \sin (y^{2}) (y y') + 1$

Paso 2.3.2

Reordena los términos.

$- 2 y \sin (y^{2}) y' + 1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{y} y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 2 y \sin (y^{2}) y' + 1 = e^{y} y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $- 2 y \sin (y^{2}) y' + 1$ .

$- 2 y y' \sin (y^{2}) + 1 = e^{y} y'$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en $e^{y} y'$ .

$- 2 y y' \sin (y^{2}) + 1 = y' e^{y}$

Paso 5.3

Resta $y' e^{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 y y' \sin (y^{2}) + 1 - y' e^{y} = 0$

Paso 5.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 y y' \sin (y^{2}) - y' e^{y} = - 1$

Paso 5.5

Factoriza $y'$ de $- 2 y y' \sin (y^{2}) - y' e^{y}$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $y'$ de $- 2 y y' \sin (y^{2})$ .

$y' (- 2 y \sin (y^{2})) - y' e^{y} = - 1$

Paso 5.5.2

Factoriza $y'$ de $- y' e^{y}$ .

$y' (- 2 y \sin (y^{2})) + y' (- 1 e^{y}) = - 1$

Paso 5.5.3

Factoriza $y'$ de $y' (- 2 y \sin (y^{2})) + y' (- 1 e^{y})$ .

$y' (- 2 y \sin (y^{2}) - 1 e^{y}) = - 1$

Paso 5.6

Reescribe $- 1 e^{y}$ como $- e^{y}$ .

$y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}) = - 1$

Paso 5.7

Divide cada término en $y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}) = - 1$ por $- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}$ y simplifica.

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Paso 5.7.1

Divide cada término en $y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}) = - 1$ por $- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}$ .

$\frac{y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y})}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}} = \frac{- 1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

Paso 5.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.7.2.1

Cancela el factor común de $- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}$ .

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Paso 5.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y})}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}} = \frac{- 1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

Paso 5.7.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

Paso 5.7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.7.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

Paso 5.7.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 y \sin (y^{2})$ .

$y' = - \frac{1}{- (2 y \sin (y^{2})) - e^{y}}$

Paso 5.7.3.3

Factoriza $- 1$ de $- e^{y}$ .

$y' = - \frac{1}{- (2 y \sin (y^{2})) - (e^{y})}$

Paso 5.7.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (2 y \sin (y^{2})) - (e^{y})$ .

$y' = - \frac{1}{- (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})}$

Paso 5.7.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.7.3.5.1

Reescribe $- (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})$ como $- 1 (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})$ .

$y' = - \frac{1}{- 1 (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})}$

Paso 5.7.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - - \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$

Paso 5.7.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y' = 1 \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$

Paso 5.7.3.5.4

Multiplica $\frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$