Cálculo Ejemplos

$\cos (x y) + x^{3} = y^{3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y) + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{3})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (x y) + x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (x y)] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x y)] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (x y)]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- \sin (x y) (x y' + y) + 3 x^{2}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y + 3 x^{2}$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$3 x^{2} - x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} - x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = 3 y^{2} y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $3 x^{2} - x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$3 x^{2} - x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = 3 y^{2} y'$

Paso 5.2

Resta $3 y^{2} y'$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} - x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - 3 y^{2} y' = 0$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Paso 5.3.2

Suma $y \sin (x y)$ a ambos lados de la ecuación.

$- x y' \sin (x y) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} + y \sin (x y)$

Paso 5.4

Factoriza $y'$ de $- x y' \sin (x y) - 3 y^{2} y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $- x y' \sin (x y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} + y \sin (x y)$

Paso 5.4.2

Factoriza $y'$ de $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' (- 3 y^{2}) = - 3 x^{2} + y \sin (x y)$

Paso 5.4.3

Factoriza $y'$ de $y' (- x \sin (x y)) + y' (- 3 y^{2})$ .

$y' (- x \sin (x y) - 3 y^{2}) = - 3 x^{2} + y \sin (x y)$

Paso 5.5

Divide cada término en $y' (- x \sin (x y) - 3 y^{2}) = - 3 x^{2} + y \sin (x y)$ por $- x \sin (x y) - 3 y^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $y' (- x \sin (x y) - 3 y^{2}) = - 3 x^{2} + y \sin (x y)$ por $- x \sin (x y) - 3 y^{2}$ .

$\frac{y' (- x \sin (x y) - 3 y^{2})}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $- x \sin (x y) - 3 y^{2}$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (- x \sin (x y) - 3 y^{2})}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Paso 5.5.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Paso 5.5.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Paso 5.5.3.4

Factoriza $- 1$ de $y \sin (x y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (- y \sin (x y))}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Paso 5.5.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (- y \sin (x y))$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - y \sin (x y))}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Paso 5.5.3.6

Reescribe $- (3 x^{2} - y \sin (x y))$ como $- 1 (3 x^{2} - y \sin (x y))$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y \sin (x y))}{- x \sin (x y) - 3 y^{2}}$

Paso 5.5.3.7

Factoriza $- 1$ de $- x \sin (x y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y \sin (x y))}{- (x \sin (x y)) - 3 y^{2}}$

Paso 5.5.3.8

Factoriza $- 1$ de $- 3 y^{2}$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y \sin (x y))}{- (x \sin (x y)) - (3 y^{2})}$

Paso 5.5.3.9

Factoriza $- 1$ de $- (x \sin (x y)) - (3 y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y \sin (x y))}{- (x \sin (x y) + 3 y^{2})}$

Paso 5.5.3.10

Reescribe $- (x \sin (x y) + 3 y^{2})$ como $- 1 (x \sin (x y) + 3 y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y \sin (x y))}{- 1 (x \sin (x y) + 3 y^{2})}$

Paso 5.5.3.11

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y \sin (x y))}{- 1 (x \sin (x y) + 3 y^{2})}$

Paso 5.5.3.12

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{3 x^{2} - y \sin (x y)}{x \sin (x y) + 3 y^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - y \sin (x y)}{x \sin (x y) + 3 y^{2}}$