Cálculo Ejemplos

$y = 5 x^{2} e^{3 x}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x^{2} e^{3 x})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2} e^{3 x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{3 x}$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$5 (x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$5 (x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4

Diferencia.

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Paso 3.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$5 (x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $e^{3 x}$ .

$5 (x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x))$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 (x^{2} (3 e^{3 x})) + 5 (e^{3 x} (2 x))$

Paso 3.5.2

Combina los términos.

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Paso 3.5.2.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$15 (x^{2} (e^{3 x})) + 5 (e^{3 x} (2 x))$

Paso 3.5.2.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$15 x^{2} e^{3 x} + 10 e^{3 x} x$

Paso 3.5.3

Reordena los términos.

$15 e^{3 x} x^{2} + 10 e^{3 x} x$

Paso 3.5.4

Reordena los factores en $15 e^{3 x} x^{2} + 10 e^{3 x} x$ .

$15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 15 x^{2} e^{3 x} + 10 x e^{3 x}$