Cálculo Ejemplos

$4 x y + \ln (x^{2} y) = 7$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (4 x y + \ln (x^{2} y)) = \frac{d}{d x} (7)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x y + \ln (x^{2} y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x y$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Paso 2.2.5

Multiplica $y$ por $1$ .

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} y)]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} y$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} y$ .

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Paso 2.3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} y$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + y (2 x))$

Paso 2.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$4 (x y' + y) + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + 2 y x)$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (x y') + 4 y + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y' + 2 y x)$

Paso 2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (x y') + 4 y + \frac{1}{x^{2} y} (x^{2} y') + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

Paso 2.4.3

Combina los términos.

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Paso 2.4.3.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2}}{x^{2} y} y' + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

Paso 2.4.3.2

Combina $\frac{x^{2}}{x^{2} y}$ y $y'$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

Paso 2.4.3.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.4.3.3.1

Cancela el factor común.

$4 x y' + 4 y + \frac{x^{2} y'}{x^{2} y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

Paso 2.4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x^{2} y} (2 y x)$

Paso 2.4.3.4

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x^{2} y} (y x)$

Paso 2.4.3.5

Combina $y$ y $\frac{2}{x^{2} y}$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 2}{x^{2} y} x$

Paso 2.4.3.6

Combina $\frac{y \cdot 2}{x^{2} y}$ y $x$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{y \cdot 2 x}{x^{2} y}$

Paso 2.4.3.7

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 \cdot y x}{x^{2} y}$

Paso 2.4.3.8

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.4.3.8.1

Cancela el factor común.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 y x}{x^{2} y}$

Paso 2.4.3.8.2

Reescribe la expresión.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2 x}{x^{2}}$

Paso 2.4.3.9

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 2.4.3.9.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Paso 2.4.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.3.9.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Paso 2.4.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Paso 2.4.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x}$

Paso 3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, 1, y, x, 1$

Paso 5.1.2

Como $1, 1, y, x, 1$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $1, 1, 1, 1, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $y^{1}, x^{1}$ .

Paso 5.1.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 5.1.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 5.1.5

El MCM de $1, 1, 1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

Paso 5.1.6

El factor para $y^{1}$ es $y$ en sí mismo.

$y^{1} = y$

$y$ ocurre $1$ vez.

Paso 5.1.7

El factor para $x^{1}$ es $x$ en sí mismo.

$x^{1} = x$

$x$ ocurre $1$ vez.

Paso 5.1.8

El MCM de $y^{1}, x^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$y x$

Paso 5.2

Multiplica cada término en $4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$ por $y x$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.2.1

Multiplica cada término en $4 x y' + 4 y + \frac{y'}{y} + \frac{2}{x} = 0$ por $y x$ .

$4 x y' (y x) + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$4 (x \cdot x) y' y + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Paso 5.2.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y (y x) + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Paso 5.2.2.1.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1.2.1

Mueve $y$ .

$4 x^{2} y' y + 4 (y \cdot y) x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Paso 5.2.2.1.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Paso 5.2.2.1.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.2.1.3.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y (x)) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Paso 5.2.2.1.3.2

Cancela el factor común.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + \frac{y'}{y} (y x) + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Paso 5.2.2.1.3.3

Reescribe la expresión.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (y x) = 0 (y x)$

Paso 5.2.2.1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.2.1.4.1

Factoriza $x$ de $y x$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (x y) = 0 (y x)$

Paso 5.2.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + \frac{2}{x} (x y) = 0 (y x)$

Paso 5.2.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0 (y x)$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $0 (y x)$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Multiplica $y$ por $0$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0 x$

Paso 5.2.3.1.2

Multiplica $0$ por $x$ .

$4 x^{2} y' y + 4 y^{2} x + y' x + 2 y = 0$

Paso 5.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.1.1

Resta $4 y^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} y' y + y' x + 2 y = - 4 y^{2} x$

Paso 5.3.1.2

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} y' y + y' x = - 4 y^{2} x - 2 y$

Paso 5.3.2

Factoriza $x y'$ de $4 x^{2} y' y + y' x$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $x y'$ de $4 x^{2} y' y$ .

$x y' (4 x y) + y' x = - 4 y^{2} x - 2 y$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $x y'$ de $y' x$ .

$x y' (4 x y) + x y' \cdot 1 = - 4 y^{2} x - 2 y$

Paso 5.3.2.3

Factoriza $x y'$ de $x y' (4 x y) + x y' \cdot 1$ .

$x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$

Paso 5.3.3

Divide cada término en $x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$ por $x (4 x y + 1)$ y simplifica.

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Paso 5.3.3.1

Divide cada término en $x y' (4 x y + 1) = - 4 y^{2} x - 2 y$ por $x (4 x y + 1)$ .

$\frac{x y' (4 x y + 1)}{x (4 x y + 1)} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' (4 x y + 1)}{x (4 x y + 1)} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Paso 5.3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (4 x y + 1)}{4 x y + 1} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común de $4 x y + 1$ .

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Paso 5.3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (4 x y + 1)}{4 x y + 1} = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Paso 5.3.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Paso 5.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Paso 5.3.3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 4 y^{2}}{4 x y + 1} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Paso 5.3.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} + \frac{- 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Paso 5.3.3.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

Paso 5.3.3.3.2

Para escribir $- \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{4 y^{2}}{4 x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

Paso 5.3.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(4 x y + 1) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.3.3.3.3.1

Multiplica $\frac{4 y^{2}}{4 x y + 1}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{4 y^{2} x}{(4 x y + 1) x} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

Paso 5.3.3.3.3.2

Reordena los factores de $(4 x y + 1) x$ .

$y' = - \frac{4 y^{2} x}{x (4 x y + 1)} - \frac{2 y}{x (4 x y + 1)}$

Paso 5.3.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- 4 y^{2} x - 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Paso 5.3.3.3.5

Factoriza $2 y$ de $- 4 y^{2} x - 2 y$ .

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Paso 5.3.3.3.5.1

Factoriza $2 y$ de $- 4 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 y (- 2 y x) - 2 y}{x (4 x y + 1)}$

Paso 5.3.3.3.5.2

Factoriza $2 y$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 y (- 2 y x) + 2 y (- 1)}{x (4 x y + 1)}$

Paso 5.3.3.3.5.3

Factoriza $2 y$ de $2 y (- 2 y x) + 2 y (- 1)$ .

$y' = \frac{2 y (- 2 y x - 1)}{x (4 x y + 1)}$

Paso 5.3.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $- 2 y x$ .

$y' = \frac{2 y (- (2 y x) - 1)}{x (4 x y + 1)}$

Paso 5.3.3.3.7

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 y (- (2 y x) - 1 (1))}{x (4 x y + 1)}$

Paso 5.3.3.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (2 y x) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 y (- (2 y x + 1))}{x (4 x y + 1)}$

Paso 5.3.3.3.9

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.3.9.1

Reescribe $- (2 y x + 1)$ como $- 1 (2 y x + 1)$ .

$y' = \frac{2 y (- 1 (2 y x + 1))}{x (4 x y + 1)}$

Paso 5.3.3.3.9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{(2 y) (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$

Paso 5.3.3.3.9.3

Reordena los factores en $- \frac{(2 y) (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$ .

$y' = - \frac{2 y (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y (2 y x + 1)}{x (4 x y + 1)}$