Cálculo Ejemplos

$x \cos (y) = 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x \cos (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y) \cdot 1$

Paso 2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.1

Multiplica $\cos (y)$ por $1$ .

$x (- \sin (y) y') + \cos (y)$

Paso 2.5.2

Reordena los términos.

$- x \sin (y) y' + \cos (y)$

Paso 3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- x \sin (y) y' + \cos (y) = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $- x \sin (y) y' + \cos (y)$ .

$- x y' \sin (y) + \cos (y) = 0$

Paso 5.2

Resta $\cos (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$- x y' \sin (y) = - \cos (y)$

Paso 5.3

Divide cada término en $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ por $- x \sin (y)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $- x y' \sin (y) = - \cos (y)$ por $- x \sin (y)$ .

$\frac{- x y' \sin (y)}{- x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' \sin (y)}{x \sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común de $\sin (y)$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Paso 5.3.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \cos (y)}{- x \sin (y)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y' = \frac{\cos (y)}{x \sin (y)}$

Paso 5.3.3.2

Separa las fracciones.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Paso 5.3.3.3

Convierte de $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ a $\cot (y)$ .

$y' = \frac{1}{x} \cot (y)$

Paso 5.3.3.4

Combina $\frac{1}{x}$ y $\cot (y)$ .

$y' = \frac{\cot (y)}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cot (y)}{x}$