Cálculo Ejemplos

$15 x = 15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (15 x) = \frac{d}{d x} (15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 x$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$15 \cdot 1$

Paso 2.3

Multiplica $15$ por $1$ .

$15$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $15 y + 5 y^{3} + 3 y^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [15 y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [15 y]$ .

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Paso 3.2.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 y$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [y]$ .

$15 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$15 y' + \frac{d}{d x} [5 y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 y^{3}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 y^{3}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$15 y' + 5 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$15 y' + 5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$15 y' + 5 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$15 y' + 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Paso 3.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$15 y' + 5 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Paso 3.3.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [3 y^{5}]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 y^{5}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y^{5}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 3 (5 y^{4} y')$

Paso 3.4.4

Multiplica $5$ por $3$ .

$15 y' + 15 y^{2} y' + 15 y^{4} y'$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$15 = 15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$ .

$15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$

Paso 5.2

Factoriza $15 y'$ de $15 y^{2} y' + 15 y^{4} y' + 15 y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $15 y'$ de $15 y^{2} y'$ .

$15 y' y^{2} + 15 y^{4} y' + 15 y' = 15$

Paso 5.2.2

Factoriza $15 y'$ de $15 y^{4} y'$ .

$15 y' y^{2} + 15 y' y^{4} + 15 y' = 15$

Paso 5.2.3

Factoriza $15 y'$ de $15 y'$ .

$15 y' y^{2} + 15 y' y^{4} + 15 y' \cdot 1 = 15$

Paso 5.2.4

Factoriza $15 y'$ de $15 y' y^{2} + 15 y' y^{4}$ .

$15 y' (y^{2} + y^{4}) + 15 y' \cdot 1 = 15$

Paso 5.2.5

Factoriza $15 y'$ de $15 y' (y^{2} + y^{4}) + 15 y' \cdot 1$ .

$15 y' (y^{2} + y^{4} + 1) = 15$

Paso 5.3

Reordena los términos.

$15 y' (y^{4} + y^{2} + 1) = 15$

Paso 5.4

Factoriza.

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Paso 5.4.1

Reescribe $y^{4} + y^{2} + 1$ en forma factorizada.

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Paso 5.4.1.1

Reescribe el término medio.

$15 y' (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 - y^{2} + 1) = 15$

Paso 5.4.1.2

Reorganiza los términos.

$15 y' (y^{4} + 2 y^{2} \cdot 1 + 1 - y^{2}) = 15$

Paso 5.4.1.3

Factoriza los primeros tres términos por la regla del cuadrado perfecto.

$15 y' ({(y^{2} + 1)}^{2} - y^{2}) = 15$

Paso 5.4.1.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = y^{2} + 1$ y $b = y$ .

$15 y' ((y^{2} + 1 + y) (y^{2} + 1 - y)) = 15$

Paso 5.4.1.5

Simplifica.

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Paso 5.4.1.5.1

Reordena los términos.

$15 y' ((y^{2} + y + 1) (y^{2} + 1 - y)) = 15$

Paso 5.4.1.5.2

Reordena los términos.

$15 y' ((y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)) = 15$

Paso 5.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$

Paso 5.5

Divide cada término en $15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$ por $15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1) = 15$ por $15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)$ .

$\frac{15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{15 y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Paso 5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común de $y^{2} + y + 1$ .

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Paso 5.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y^{2} - y + 1)}{y^{2} - y + 1} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Paso 5.5.2.3

Cancela el factor común de $y^{2} - y + 1$ .

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Paso 5.5.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y^{2} - y + 1)}{y^{2} - y + 1} = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Paso 5.5.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 5.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{15}{15 (y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Paso 5.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{1}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y^{2} + y + 1) (y^{2} - y + 1)}$