Cálculo Ejemplos

$y = \frac{4 x}{x - 3}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x}{x - 3})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x}{x - 3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x - 3$ .

$4 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \frac{(x - 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Multiplica $x - 3$ por $1$ .

$4 \frac{x - 3 - x \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 \frac{x - 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \frac{x - 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.5

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 \frac{x - 3 - x (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.6

Simplifica los términos.

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Paso 3.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$4 \frac{x - 3 - x \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$4 \frac{x - 3 - x}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.6.3

Resta $x$ de $x$ .

$4 \frac{0 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.6.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.6.4.1

Resta $3$ de $0$ .

$4 \frac{- 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.6.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 (- \frac{3}{{(x - 3)}^{2}})$

Paso 3.3.6.4.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 \frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.6.5

Combina $- 4$ y $\frac{3}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.6.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.6.6.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$\frac{- 12}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 3.3.6.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{12}{{(x - 3)}^{2}}$