Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1 - \sec (x)$ y $g (x) = \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [1 - \sec (x)] - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \sec (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) \frac{d}{d x} [- \sec (x)] - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sec (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{\tan (x) (- \frac{d}{d x} [\sec (x)]) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.3

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) (- (\sec (x) \tan (x))) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.4

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.5

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- \sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1} - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (1 - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.8

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - (1 - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9

Simplifica.

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Paso 3.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) + (- 1 \cdot 1 - - \sec (x)) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 1 \cdot 1 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.9.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - 1 \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.1.2

Reescribe $- 1 \sec^{2} (x)$ como $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - - \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.1.3

Multiplica $\sec (x)$ por $\sec^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.9.3.1.3.1

Mueve $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.1.3.2

Multiplica $\sec^{2} (x)$ por $\sec (x)$ .

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Paso 3.9.3.1.3.2.1

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - - {\sec (x)}^{2 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.1.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - - \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.1.4

Multiplica $- - \sec^{3} (x)$ .

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Paso 3.9.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.1.4.2

Multiplica $\sec^{3} (x)$ por $1$ .

$\frac{- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.2

Factoriza $\sec (x)$ de $- \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)$ .

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Paso 3.9.3.2.1

Factoriza $\sec (x)$ de $- \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) - \sec^{2} (x) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.2.2

Factoriza $\sec (x)$ de $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec (x)) + \sec^{3} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.2.3

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec^{3} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.2.4

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec (x))$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.2.5

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec (x) (- \tan^{2} (x) - \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) - \sec (x) + \sec^{2} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.3

Mueve $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (- \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x) - \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.4

Reordena $- \tan^{2} (x)$ y $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) - \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\sec (x) (1 - \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.7

Multiplica $\sec (x)$ por $1$ .

$\frac{\sec (x) + \sec (x) (- \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\sec (x) - \sec (x) \sec (x)}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.9

Multiplica $- \sec (x) \sec (x)$ .

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Paso 3.9.3.9.1

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.9.2

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x))}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.9.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sec (x) - {\sec (x)}^{1 + 1}}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.3.9.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.4

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec (x) - \sec^{2} (x)$ .

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Paso 3.9.4.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{\sec (x) \cdot 1 - \sec^{2} (x)}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.4.2

Factoriza $\sec (x)$ de $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.4.3

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))$ .

$\frac{\sec (x) (1 - \sec (x))}{\tan^{2} (x)}$

Paso 3.9.5

Factoriza $\tan (x)$ de $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (1 - \sec (x))}{\tan (x) \tan (x)}$

Paso 3.9.6

Separa las fracciones.

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\tan (x)}$

Paso 3.9.7

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 3.9.8

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 3.9.9

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Paso 3.9.10

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 3.9.10.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Paso 3.9.10.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 3.9.11

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)} \csc (x)$

Paso 3.9.12

Combina $\frac{1 - \sec (x)}{\tan (x)}$ y $\csc (x)$ .

$\frac{(1 - \sec (x)) \csc (x)}{\tan (x)}$

Paso 3.9.13

Separa las fracciones.

$\frac{1 - \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\tan (x)}$

Paso 3.9.14

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1 - \sec (x)}{1} \cdot \frac{\csc (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 3.9.15

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1 - \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 3.9.16

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{1} (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Paso 3.9.17

Simplifica.

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Paso 3.9.17.1

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{1} (\csc (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Paso 3.9.17.2

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\frac{1 - \sec (x)}{1} (\csc (x) \cot (x))$

Paso 3.9.18

Divide $1 - \sec (x)$ por $1$ .

$(1 - \sec (x)) (\csc (x) \cot (x))$

Paso 3.9.19

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (\csc (x) \cot (x)) - \sec (x) (\csc (x) \cot (x))$

Paso 3.9.20

Multiplica $\csc (x) \cot (x)$ por $1$ .

$\csc (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \csc (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) \cot (x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) \cot (x) - \sec (x) \csc (x) \cot (x)$