Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{x + 2}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x + 2})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Reescribe $\frac{1}{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{- 1}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x + 2$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 2$ .

$- {(x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- {(x + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- {(x + 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Paso 3.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(x + 2)}^{- 2} (1 + 0)$

Paso 3.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$- {(x + 2)}^{- 2} \cdot 1$

Paso 3.3.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- {(x + 2)}^{- 2}$

Paso 3.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{{(x + 2)}^{2}}$