Cálculo Ejemplos

$\ln (9 y) = e^{y} \sin (5 x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\ln (9 y)) = \frac{d}{d x} (e^{y} \sin (5 x))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 9 y$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 y$ .

$\frac{1}{9 y} \frac{d}{d x} [9 y]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 y$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{9 y} (9 \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.2.1

Combina $9$ y $\frac{1}{9 y}$ .

$\frac{9}{9 y} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 2.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{9}{9 y} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Paso 2.4

Combina $\frac{1}{y}$ y $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = e^{y}$ y $g (x) = \sin (5 x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $5 x$ .

$e^{y} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$e^{y} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 x$ .

$e^{y} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{y} \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{y} \cos (5 x) (5 \cdot 1) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Paso 3.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$e^{y} \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Paso 3.3.3.2

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{y} \cos (5 x)$ .

$5 \cdot (e^{y} \cos (5 x)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 e^{y} \cos (5 x) + \sin (5 x) e^{y} y'$

Paso 3.6

Reordena los términos.

$5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{y'}{y} = 5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y'}{y} y = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

Paso 5.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = (5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $(5 e^{y} \cos (5 x) + e^{y} \sin (5 x) y') y$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = 5 e^{y} \cos (5 x) y + e^{y} \sin (5 x) y' y$

Paso 5.2.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.2.1.2.1

Reordena los factores en $5 e^{y} \cos (5 x) y + e^{y} \sin (5 x) y' y$ .

$y' = 5 y e^{y} \cos (5 x) + y' y e^{y} \sin (5 x)$

Paso 5.2.2.1.2.2

Reordena $5 y e^{y} \cos (5 x)$ y $y' y e^{y} \sin (5 x)$ .

$y' = y' y e^{y} \sin (5 x) + 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Resta $y' y e^{y} \sin (5 x)$ de ambos lados de la ecuación.

$y' - y' y e^{y} \sin (5 x) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $y' - y' y e^{y} \sin (5 x)$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - y' y e^{y} \sin (5 x) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $y'$ de $- y' y e^{y} \sin (5 x)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Paso 5.3.2.3

Factoriza $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (5 x))$ .

$y' (1 - 1 y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Paso 5.3.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$

Paso 5.3.4

Divide cada término en $y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$ por $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ y simplifica.

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Paso 5.3.4.1

Divide cada término en $y' (1 - y e^{y} \sin (5 x)) = 5 y e^{y} \cos (5 x)$ por $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ .

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (5 x))}{1 - y e^{y} \sin (5 x)} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

Paso 5.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.4.2.1

Cancela el factor común de $1 - y e^{y} \sin (5 x)$ .

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Paso 5.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (5 x))}{1 - y e^{y} \sin (5 x)} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

Paso 5.3.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y e^{y} \cos (5 x)}{1 - y e^{y} \sin (5 x)}$