Cálculo Ejemplos

$\ln (y) = x \ln (x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (x \ln (x))$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Paso 2.3

Combina $\frac{1}{y}$ y $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Paso 3.3.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$1 + \ln (x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{y'}{y} = 1 + \ln (x)$

Paso 5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (1 + \ln (x)) y$

Paso 5.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y'}{y} y = (1 + \ln (x)) y$

Paso 5.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = (1 + \ln (x)) y$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Simplifica $(1 + \ln (x)) y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y' = 1 y + \ln (x) y$

Paso 5.2.2.1.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.2.1

Multiplica $y$ por $1$ .

$y' = y + \ln (x) y$

Paso 5.2.2.1.2.2

Reordena los factores en $y + \ln (x) y$ .

$y' = y + y \ln (x)$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = y + y \ln (x)$