Cálculo Ejemplos

$\sin (x) = x (1 + \tan (y))$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\sin (x)) = \frac{d}{d x} (x (1 + \tan (y)))$

Paso 2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 1 + \tan (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [1 + \tan (y)] + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \tan (y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (y)]$ .

$x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (y)]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [\tan (y)]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\tan (y)]$ .

$x \frac{d}{d x} [\tan (y)] + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]) + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x \sec^{2} (y) y' + (1 + \tan (y)) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x \sec^{2} (y) y' + (1 + \tan (y)) \cdot 1$

Paso 3.6

Multiplica $1 + \tan (y)$ por $1$ .

$x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\cos (x) = x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y) = \cos (x)$ .

$x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y) = \cos (x)$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en $x \sec^{2} (y) y' + 1 + \tan (y)$ .

$x y' \sec^{2} (y) + 1 + \tan (y) = \cos (x)$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' \sec^{2} (y) + \tan (y) = \cos (x) - 1$

Paso 5.3.2

Resta $\tan (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$

Paso 5.3.3

Reescribe $\tan (y)$ en términos de senos y cosenos.

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

Paso 5.3.4

Convierte de $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ a $\tan (y)$ .

$x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$

Paso 5.4

Divide cada término en $x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$ por $x \sec^{2} (y)$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $x y' \sec^{2} (y) = \cos (x) - 1 - \tan (y)$ por $x \sec^{2} (y)$ .

$\frac{x y' \sec^{2} (y)}{x \sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' \sec^{2} (y)}{x \sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' \sec^{2} (y)}{\sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $\sec^{2} (y)$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' \sec^{2} (y)}{\sec^{2} (y)} = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Factoriza $\sec (y)$ de $\sec^{2} (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{x (\sec (y) \sec (y))} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.3.1.2

Separa las fracciones.

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (y)} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.3.1.3

Reescribe $\sec (y)$ en términos de senos y cosenos.

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (y)}} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.3.1.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{1}{x (\sec (y))} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.3.1.5

Separa las fracciones.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\sec (y)} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.3.1.6

Reescribe $\sec (y)$ en términos de senos y cosenos.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.3.1.7

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{1}{x} (1 \cos (y)) (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.3.1.8

Multiplica $\cos (y)$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{x} \cos (y) (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.3.1.9

Combina $\frac{1}{x}$ y $\cos (y)$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{x} (\cos (x) \cos (y)) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.3.1.10

Multiplica $\frac{\cos (y)}{x} (\cos (x) \cos (y))$ .

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Paso 5.4.3.1.10.1

Combina $\cos (x)$ y $\frac{\cos (y)}{x}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{x} \cos (y) + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.3.1.10.2

Combina $\frac{\cos (x) \cos (y)}{x}$ y $\cos (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y) \cos (y)}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.3.1.10.3

Eleva $\cos (y)$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) (\cos^{1} (y) \cos (y))}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.3.1.10.4

Eleva $\cos (y)$ a la potencia de $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) (\cos^{1} (y) \cos^{1} (y))}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.3.1.10.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y' = \frac{\cos (x) {\cos (y)}^{1 + 1}}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.3.1.10.6

Suma $1$ y $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \sec^{2} (y)} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.3.1.11

Simplifica el denominador.

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Paso 5.4.3.1.11.1

Reescribe $\sec (y)$ en términos de senos y cosenos.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x {(\frac{1}{\cos (y)})}^{2}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.3.1.11.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.3.1.11.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x \frac{1}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.3.1.12

Combina $x$ y $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{\frac{x}{\cos^{2} (y)}} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.3.1.13

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- \tan (y)}{x \sec^{2} (y)}$

Paso 5.4.3.1.14

Factoriza $\sec (y)$ de $\sec^{2} (y)$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- \tan (y)}{x (\sec (y) \sec (y))}$

Paso 5.4.3.1.15

Separa las fracciones.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\tan (y)}{\sec (y)}$

Paso 5.4.3.1.16

Reescribe $\sec (y)$ en términos de senos y cosenos.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\tan (y)}{\frac{1}{\cos (y)}}$

Paso 5.4.3.1.17

Reescribe $\tan (y)$ en términos de senos y cosenos.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \cdot \frac{\frac{\sin (y)}{\cos (y)}}{\frac{1}{\cos (y)}}$

Paso 5.4.3.1.18

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cos (y))$

Paso 5.4.3.1.19

Escribe $\cos (y)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1})$

Paso 5.4.3.1.20

Cancela el factor común de $\cos (y)$ .

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Paso 5.4.3.1.20.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} (\frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{1})$

Paso 5.4.3.1.20.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x (\sec (y))} \sin (y)$

Paso 5.4.3.1.21

Separa las fracciones.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cdot \frac{1}{\sec (y)} \sin (y)$

Paso 5.4.3.1.22

Reescribe $\sec (y)$ en términos de senos y cosenos.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} \sin (y)$

Paso 5.4.3.1.23

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} (1 \cos (y)) \sin (y)$

Paso 5.4.3.1.24

Multiplica $\cos (y)$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} + \frac{- 1}{x} \cos (y) \sin (y)$

Paso 5.4.3.1.25

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{1}{x} \cos (y) \sin (y)$

Paso 5.4.3.1.26

Combina $\cos (y)$ y $\frac{1}{x}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos (y)}{x} \sin (y)$

Paso 5.4.3.1.27

Combina $\sin (y)$ y $\frac{\cos (y)}{x}$ .

$y' = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\sin (y) \cos (y)}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x) \cos^{2} (y)}{x} - \frac{\cos^{2} (y)}{x} - \frac{\sin (y) \cos (y)}{x}$