Cálculo Ejemplos

$\cos (x^{2}) = x e^{y}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) = \frac{d}{d x} (x e^{y})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \sin (x^{2}) (2 x)$

Paso 2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (x^{2}) x$

Paso 2.2.2.2

Reordena los factores de $- 2 \sin (x^{2}) x$ .

$- 2 x \sin (x^{2})$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \cdot 1$

Paso 3.5

Multiplica $e^{y}$ por $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 2 x \sin (x^{2}) = x e^{y} y' + e^{y}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $x e^{y} y' + e^{y} = - 2 x \sin (x^{2})$ .

$x e^{y} y' + e^{y} = - 2 x \sin (x^{2})$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en $x e^{y} y' + e^{y}$ .

$x y' e^{y} + e^{y} = - 2 x \sin (x^{2})$

Paso 5.3

Resta $e^{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' e^{y} = - 2 x \sin (x^{2}) - e^{y}$

Paso 5.4

Divide cada término en $x y' e^{y} = - 2 x \sin (x^{2}) - e^{y}$ por $x e^{y}$ y simplifica.

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Paso 5.4.1

Divide cada término en $x y' e^{y} = - 2 x \sin (x^{2}) - e^{y}$ por $x e^{y}$ .

$\frac{x y' e^{y}}{x e^{y}} = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' e^{y}}{x e^{y}} = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Paso 5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' e^{y}}{e^{y}} = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $e^{y}$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' e^{y}}{e^{y}} = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Paso 5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.4.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 2 x \sin (x^{2})}{x e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Paso 5.4.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 2 \sin (x^{2})}{e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Paso 5.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Paso 5.4.3.1.3

Cancela el factor común de $e^{y}$ .

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Paso 5.4.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y}}$

Paso 5.4.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} + \frac{- 1}{x}$

Paso 5.4.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} - \frac{1}{x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \sin (x^{2})}{e^{y}} - \frac{1}{x}$