Cálculo Ejemplos

$y = - \frac{x}{y}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- \frac{x}{y})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{x}{y}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$- \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.3.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$- \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Paso 3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.6.1

Multiplica $\frac{x}{y}$ por $0$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

Paso 3.6.2

Suma $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ y $0$ .

$- \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $y^{2}$ .

$y' y^{2} = - \frac{y - x y'}{y^{2}} y^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.1

Simplifica $- \frac{y - x y'}{y^{2}} y^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ al numerador.

$y' y^{2} = \frac{- (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$y' y^{2} = \frac{- (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

Paso 5.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$y' y^{2} = - (y - x y')$

Paso 5.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y' y^{2} = - y - (- x y')$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- (- x y')$ .

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Paso 5.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y' y^{2} = - y + 1 (x y')$

Paso 5.2.1.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$y' y^{2} = - y + x y'$

Paso 5.2.1.4

Reordena $x$ y $y'$ .

$y' y^{2} = - y + y' x$

Paso 5.2.1.5

Reordena $- y$ y $y' x$ .

$y' y^{2} = y' x - y$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Resta $y' x$ de ambos lados de la ecuación.

$y' y^{2} - y' x = - y$

Paso 5.3.2

Factoriza $y'$ de $y' y^{2} - y' x$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $y'$ de $y' y^{2}$ .

$y' (y^{2}) - y' x = - y$

Paso 5.3.2.2

Factoriza $y'$ de $- y' x$ .

$y' (y^{2}) + y' (- 1 x) = - y$

Paso 5.3.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (y^{2}) + y' (- 1 x)$ .

$y' (y^{2} - 1 x) = - y$

Paso 5.3.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y' (y^{2} - x) = - y$

Paso 5.3.4

Divide cada término en $y' (y^{2} - x) = - y$ por $y^{2} - x$ y simplifica.

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Paso 5.3.4.1

Divide cada término en $y' (y^{2} - x) = - y$ por $y^{2} - x$ .

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{- y}{y^{2} - x}$

Paso 5.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.4.2.1

Cancela el factor común de $y^{2} - x$ .

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Paso 5.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y^{2} - x)}{y^{2} - x} = \frac{- y}{y^{2} - x}$

Paso 5.3.4.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y}{y^{2} - x}$

Paso 5.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y}{y^{2} - x}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{y^{2} - x}$