Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} \sin^{4} (x) + \cos^{- 2} (x)$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} \sin^{4} (x) + \cos^{- 2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin^{4} (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)] + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (x)$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x^{2} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

Paso 2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)]$ .

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) - 2 {u_{2}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) - 2 \cos^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) - 2 \cos^{- 3} (x) (- \sin (x))$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + 2 \cos^{- 3} (x) \sin (x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + 2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)$

Paso 4.2

Convierte de $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ a $\sec^{3} (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + 2 \sec^{3} (x) \sin (x)$

Paso 4.3

Reordena los términos.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 \sec^{3} (x) \sin (x)$

Paso 4.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{3} \sin (x)$

Paso 4.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 \frac{1^{3}}{\cos^{3} (x)} \sin (x)$

Paso 4.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)$

Paso 4.4.4

Combina $2$ y $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{\cos^{3} (x)} \sin (x)$

Paso 4.4.5

Combina $\frac{2}{\cos^{3} (x)}$ y $\sin (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$

Paso 4.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{3} (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)}$

Paso 4.5.2

Separa las fracciones.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 4.5.3

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)$

Paso 4.5.4

Multiplica por $1$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan (x)$

Paso 4.5.5

Separa las fracciones.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x)$

Paso 4.5.6

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x)$

Paso 4.5.7

Divide $2$ por $1$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$