Cálculo Ejemplos

$y = x^{\sqrt{x}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 4.1.1

Reescribe $x^{x^{\frac{1}{2}}}$ como $e^{\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})}]$

Paso 4.1.2

Expande $\ln (x^{x^{\frac{1}{2}}})$ ; para ello, mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

Paso 4.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.5

Combina fracciones.

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Paso 4.5.1

Combina $x^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.5.2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.6

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.6.1

Multiplica $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.6.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.6.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.6.4

Resta $1$ de $2$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Paso 4.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Paso 4.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Paso 4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 4.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Paso 4.11.2

Resta $2$ de $1$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Paso 4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Paso 4.13

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 4.14

Combina $\ln (x)$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Paso 4.15

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Paso 4.16

Simplifica.

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Paso 4.16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.16.2

Combina los términos.

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Paso 4.16.2.1

Combina $e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}$ y $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.16.2.2

Combina $e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}$ y $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{e^{x^{\frac{1}{2}} \ln (x)} \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$