Cálculo Ejemplos

$\cos (2 x) + \sin (x) = 1$ , $[0, 2 π)$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (2 x) + \sin (x) - 1 = 0$

Paso 2

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1 = 0$

Paso 2.2

Combina los términos opuestos en $1 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 1$ .

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Paso 2.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$0 - 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Paso 2.2.2

Resta $2 \sin^{2} (x)$ de $0$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) = 0$

Paso 3

Factoriza $\sin (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x)$ .

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Paso 3.1

Factoriza $\sin (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) = 0$

Paso 3.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) = 0$

Paso 3.3

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin^{1} (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 = 0$

Paso 3.4

Factoriza $\sin (x)$ de $\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Paso 5

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 5.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 5.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 5.2.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 5.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Establece $- 2 \sin (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $- 2 \sin (x) + 1$ igual a $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Paso 6.2.2

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 6.2.2.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Paso 6.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 6.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Paso 6.2.6

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 6.2.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 6.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 6.2.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 6.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 6.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.6.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 6.2.6.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 6.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 6.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

Consolida $2 π n$ y $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Obtén los valores de $n$ que producen un valor dentro del intervalo $[0, 2 π)$ .

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Paso 9.1

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Paso 9.1.1

Inserta $0$ en $n$ .

$π (0)$

Paso 9.1.2

Multiplica $π$ por $0$ .

$0$

Paso 9.1.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $0$ .

$x = 0$

Paso 9.2

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Paso 9.2.1

Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{π}{6} + 2 π (0)$

Paso 9.2.2

Simplifica.

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Paso 9.2.2.1

Multiplica $2 π (0)$ .

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Paso 9.2.2.1.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{π}{6} + 0 π$

Paso 9.2.2.1.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Paso 9.2.2.2

Suma $\frac{π}{6}$ y $0$ .

$\frac{π}{6}$

Paso 9.2.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{6}$ .

$x = 0, \frac{π}{6}$

Paso 9.3

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Paso 9.3.1

Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{5 π}{6} + 2 π (0)$

Paso 9.3.2

Simplifica.

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Paso 9.3.2.1

Multiplica $2 π (0)$ .

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Paso 9.3.2.1.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{5 π}{6} + 0 π$

Paso 9.3.2.1.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Paso 9.3.2.2

Suma $\frac{5 π}{6}$ y $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

Paso 9.3.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $\frac{5 π}{6}$ .

$x = 0, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Paso 9.4

Inserta $1$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π)$ .

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Paso 9.4.1

Inserta $1$ en $n$ .

$π (1)$

Paso 9.4.2

Multiplica $π$ por $1$ .

$π$

Paso 9.4.3

El intervalo $[0, 2 π)$ contiene $π$ .

$x = 0, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, π$