Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{2} + 5 x$ , $x = 4$

Paso 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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Paso 1.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$y = {(4)}^{2} + 5 (4)$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 4^{2} + 5 (4)$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = {(4)}^{2} + 5 (4)$

Paso 1.2.3

Simplifica ${(4)}^{2} + 5 (4)$ .

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = 16 + 5 (4)$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $5$ por $4$ .

$y = 16 + 20$

Paso 1.2.3.2

Suma $16$ y $20$ .

$y = 36$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = 36$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 5 \cdot 1$

Paso 2.2.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$2 x + 5$

Paso 2.3

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$2 (4) + 5$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$8 + 5$

Paso 2.4.2

Suma $8$ y $5$ .

$13$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $13$ y un punto dado $(4, 36)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (36) = 13 \cdot (x - (4))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 36 = 13 \cdot (x - 4)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $13 \cdot (x - 4)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 36 = 0 + 0 + 13 \cdot (x - 4)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 36 = 13 \cdot (x - 4)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 36 = 13 x + 13 \cdot - 4$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $13$ por $- 4$ .

$y - 36 = 13 x - 52$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $36$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 13 x - 52 + 36$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 52$ y $36$ .

$y = 13 x - 16$

Paso 4