Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x + 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x + 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x + 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3

Simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot 1) x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.3.1.1.1

Mueve $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (1 x) - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x - x^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Factoriza $x$ de $x^{2} + 2 x$ .

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Paso 1.1.3.4.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.2

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x \cdot 2}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}} = 0$

Paso 2.2

Establece el numerador igual a cero.

$x (x + 2) = 0$

Paso 2.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 2.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 2.3.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.3.3

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.3.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.3.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el denominador en $\frac{x (x + 2)}{{(x + 1)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x + 1)}^{2} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $x$

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Paso 3.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 3.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 4

Evalúa $\frac{x^{2}}{x + 1}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) + 1}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Paso 4.1.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{0}{1}$

Paso 4.1.2.3

Divide $0$ por $1$ .

$0$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{2}}{(- 2) + 1}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4}{- 2 + 1}$

Paso 4.2.2.2

Suma $- 2$ y $1$ .

$\frac{4}{- 1}$

Paso 4.2.2.3

Divide $4$ por $- 1$ .

$- 4$

Paso 4.3

Evalúa en $x = - 1$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{(- 1) + 1}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2}}{0}$

Paso 4.3.2.2

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, 0), (- 2, - 4)$

Paso 5