Cálculo Ejemplos

$y = 3 x^{2} + 4 x$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 4 x$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} + 4 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 2.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x + 4 \cdot 1$

Paso 2.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$6 x + 4$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 x + 4 = 0$ .

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Paso 3.1

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x = - 4$

Paso 3.2

Divide cada término en $6 x = - 4$ por $6$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $6 x = - 4$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 4}{6}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{6}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $6$ .

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Paso 3.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$x = \frac{2 (- 2)}{6}$

Paso 3.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Paso 3.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Paso 3.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 2}{3}$

Paso 3.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = 3 x^{2} + 4 x$ en $x = - \frac{2}{3}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{2}{3}$ en la expresión.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 {(- \frac{2}{3})}^{2} + 4 (- \frac{2}{3})$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Paso 4.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3})$

Paso 4.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) + 4 (- \frac{2}{3})$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Paso 4.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3^{2}}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Paso 4.2.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{9}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Paso 4.2.1.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.6.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 (3)}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Paso 4.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 \cdot 3}) + 4 (- \frac{2}{3})$

Paso 4.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + 4 (- \frac{2}{3})$

Paso 4.2.1.7

Multiplica $4 (- \frac{2}{3})$ .

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Paso 4.2.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - 4 (\frac{2}{3})$

Paso 4.2.1.7.2

Combina $- 4$ y $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 2}{3}$

Paso 4.2.1.7.3

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{3}$

Paso 4.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - \frac{8}{3}$

Paso 4.2.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4 - 8}{3}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.2.1

Resta $8$ de $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 4}{3}$

Paso 4.2.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{4}{3}$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3}$

Paso 5

La tangente horizontal en la función $f (x) = 3 x^{2} + 4 x$ es $y = - \frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{4}{3}$

Paso 6