Cálculo Ejemplos

$y = 2 + 8 x - x^{2}$

Paso 1

Simplifica $2 + 8 x - x^{2}$ .

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Paso 1.1

Mueve $2$ .

$y = 8 x - x^{2} + 2$

Paso 1.2

Reordena $8 x$ y $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 8 x + 2$

Paso 2

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = - x^{2} + 8 x + 2$

Paso 3

Obtén la derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} + 8 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Paso 3.3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.3.3

Multiplica $8$ por $1$ .

$- 2 x + 8 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 x + 8 + 0$

Paso 3.4.2

Suma $- 2 x + 8$ y $0$ .

$- 2 x + 8$

Paso 4

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 2 x + 8 = 0$ .

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Paso 4.1

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 8$

Paso 4.2

Divide cada término en $- 2 x = - 8$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $- 2 x = - 8$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 8}{- 2}$

Paso 4.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 2}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Divide $- 8$ por $- 2$ .

$x = 4$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = - x^{2} + 8 x + 2$ en $x = 4$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$f (4) = - {(4)}^{2} + 8 (4) + 2$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 8 (4) + 2$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$f (4) = - 16 + 8 (4) + 2$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $8$ por $4$ .

$f (4) = - 16 + 32 + 2$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 5.2.2.1

Suma $- 16$ y $32$ .

$f (4) = 16 + 2$

Paso 5.2.2.2

Suma $16$ y $2$ .

$f (4) = 18$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $18$ .

$18$

Paso 6

La tangente horizontal en la función $f (x) = - x^{2} + 8 x + 2$ es $y = 18$ .

$y = 18$

Paso 7