Cálculo Ejemplos

$y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.5.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 0$

Paso 2.5.2

Suma $6 x^{2} + 6 x - 12$ y $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ .

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Paso 3.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Factoriza $6$ de $6 x^{2} + 6 x - 12$ .

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Paso 3.1.1.1

Factoriza $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

Paso 3.1.1.2

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

Paso 3.1.1.3

Factoriza $6$ de $- 12$ .

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

Paso 3.1.1.4

Factoriza $6$ de $6 (x^{2}) + 6 x$ .

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

Paso 3.1.1.5

Factoriza $6$ de $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ .

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza.

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $x^{2} + x - 2$ con el método AC.

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Paso 3.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 3.1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Paso 3.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 3.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 3.4

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 3.4.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 (x - 1) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 2$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ en $x = 1$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = 2 {(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 1$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 2 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 1$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$f (1) = 2 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 1$

Paso 4.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 2 + 3 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 1$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (1) = 2 + 3 - 12 \cdot 1 + 1$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$f (1) = 2 + 3 - 12 + 1$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.2.1

Suma $2$ y $3$ .

$f (1) = 5 - 12 + 1$

Paso 4.2.2.2

Resta $12$ de $5$ .

$f (1) = - 7 + 1$

Paso 4.2.2.3

Suma $- 7$ y $1$ .

$f (1) = - 6$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $- 6$ .

$- 6$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ en $x = - 2$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f (- 2) = 2 \cdot - 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 8$ .

$f (- 2) = - 16 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 1$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = - 16 + 3 \cdot 4 - 12 \cdot - 2 + 1$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $3$ por $4$ .

$f (- 2) = - 16 + 12 - 12 \cdot - 2 + 1$

Paso 5.2.1.5

Multiplica $- 12$ por $- 2$ .

$f (- 2) = - 16 + 12 + 24 + 1$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 5.2.2.1

Suma $- 16$ y $12$ .

$f (- 2) = - 4 + 24 + 1$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 4$ y $24$ .

$f (- 2) = 20 + 1$

Paso 5.2.2.3

Suma $20$ y $1$ .

$f (- 2) = 21$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $21$ .

$21$

Paso 6

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 1$ son $y = - 6, y = 21$ .

$y = - 6, y = 21$

Paso 7