Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 32 x^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 32 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 32 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 32 (2 x)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 32$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 64 x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 64 x$ .

$4 x^{3} - 64 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 64 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 64 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 64 x$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 64 x = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $4 x$ de $- 64 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 16) = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 16)$ .

$4 x (x^{2} - 16) = 0$

Paso 2.2.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza.

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Paso 2.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 4$ .

$4 x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Paso 2.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 x (x + 4) (x - 4) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2.6

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x (x + 4) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 4, 4$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, - 4, 4$ .

$0, - 4, 4$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f' (- 5) = 4 {(- 5)}^{3} - 64 \cdot - 5$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 5) = 4 \cdot - 125 - 64 \cdot - 5$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 125$ .

$f' (- 5) = - 500 - 64 \cdot - 5$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 64$ por $- 5$ .

$f' (- 5) = - 500 + 320$

Paso 5.2.2

Suma $- 500$ y $320$ .

$f' (- 5) = - 180$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 180$ .

$- 180$

Paso 5.3

En $x = - 5$ la derivada es $- 180$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 4)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 4)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 4, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} - 64 \cdot - 2$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 - 64 \cdot - 2$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 - 64 \cdot - 2$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 64$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = - 32 + 128$

Paso 6.2.2

Suma $- 32$ y $128$ .

$f' (- 2) = 96$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $96$ .

$96$

Paso 6.3

En $x = - 2$ la derivada es $96$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 4, 0)$ .

Incremento en $(- 4, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, 4)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 64 \cdot 2$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 64 \cdot 2$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $4$ por $8$ .

$f' (2) = 32 - 64 \cdot 2$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $- 64$ por $2$ .

$f' (2) = 32 - 128$

Paso 7.2.2

Resta $128$ de $32$ .

$f' (2) = - 96$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 96$ .

$- 96$

Paso 7.3

En $x = 2$ la derivada es $- 96$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 4)$ .

Decrecimiento en $(0, 4)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(4, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $5$ en la expresión.

$f' (5) = 4 {(5)}^{3} - 64 \cdot 5$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f' (5) = 4 \cdot 125 - 64 \cdot 5$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $4$ por $125$ .

$f' (5) = 500 - 64 \cdot 5$

Paso 8.2.1.3

Multiplica $- 64$ por $5$ .

$f' (5) = 500 - 320$

Paso 8.2.2

Resta $320$ de $500$ .

$f' (5) = 180$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $180$ .

$180$

Paso 8.3

En $x = 5$ la derivada es $180$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(4, \infty)$ .

Incremento en $(4, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 4, 0), (4, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 4), (0, 4)$

Paso 10