Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{4} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{4} x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Paso 1.1.2.3

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Paso 1.1.2.4

Combina $\frac{4}{4}$ y $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Paso 1.1.2.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Paso 1.1.2.5.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2}$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 2 (2 x)$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 4 x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{3} - 4 x$ .

$x^{3} - 4 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{3} - 4 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{3} - 4 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - 4 x$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 4 x = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $x$ de $- 4 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 4 = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 4$ .

$x (x^{2} - 4) = 0$

Paso 2.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza.

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Paso 2.2.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 2.2.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.6

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2, 2$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, - 2, 2$ .

$0, - 2, 2$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 3$ en la expresión.

$f' (- 3) = {(- 3)}^{3} - 4 \cdot - 3$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 3) = - 27 - 4 \cdot - 3$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = - 27 + 12$

Paso 5.2.2

Suma $- 27$ y $12$ .

$f' (- 3) = - 15$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 15$ .

$- 15$

Paso 5.3

En $x = - 3$ la derivada es $- 15$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 2)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 2)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{3} - 4 \cdot - 1$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1) = - 1 - 4 \cdot - 1$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 + 4$

Paso 6.2.2

Suma $- 1$ y $4$ .

$f' (- 1) = 3$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 6.3

En $x = - 1$ la derivada es $3$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 2, 0)$ .

Incremento en $(- 2, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, 2)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = {(1)}^{3} - 4 \cdot 1$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 1 - 4 \cdot 1$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$f' (1) = 1 - 4$

Paso 7.2.2

Resta $4$ de $1$ .

$f' (1) = - 3$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 7.3

En $x = 1$ la derivada es $- 3$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 2)$ .

Decrecimiento en $(0, 2)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = {(3)}^{3} - 4 \cdot 3$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f' (3) = 27 - 4 \cdot 3$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$f' (3) = 27 - 12$

Paso 8.2.2

Resta $12$ de $27$ .

$f' (3) = 15$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $15$ .

$15$

Paso 8.3

En $x = 3$ la derivada es $15$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(2, \infty)$ .

Incremento en $(2, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 2, 0), (2, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 2), (0, 2)$

Paso 10