Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} + 18 x^{2} + 2$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 18 x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18 x^{2}$ con respecto a $x$ es $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $18$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 36 x + \frac{d}{d x} (2)$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 36 x + 0$

Paso 1.1.3.2

Suma $3 x^{2} + 36 x$ y $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 36 x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} + 36 x$ .

$3 x^{2} + 36 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} + 36 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} + 36 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $3 x$ de $3 x^{2} + 36 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) + 36 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $3 x$ de $36 x$ .

$3 x (x) + 3 x (12) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (12)$ .

$3 x (x + 12) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 12 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x + 12$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 12$ igual a $0$ .

$x + 12 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 12$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 x (x + 12) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 12$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, - 12$ .

$0, - 12$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 12) \cup (- 12, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 12)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 13$ en la expresión.

$f' (- 13) = 3 {(- 13)}^{2} + 36 (- 13)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 13$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 13) = 3 \cdot 169 + 36 (- 13)$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $3$ por $169$ .

$f' (- 13) = 507 + 36 (- 13)$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $36$ por $- 13$ .

$f' (- 13) = 507 - 468$

Paso 5.2.2

Resta $468$ de $507$ .

$f' (- 13) = 39$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $39$ .

$39$

Paso 5.3

En $x = - 13$ la derivada es $39$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, - 12)$ .

Incremento en $(- \infty, - 12)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 12, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f' (- 6) = 3 {(- 6)}^{2} + 36 (- 6)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 6) = 3 \cdot 36 + 36 (- 6)$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $3$ por $36$ .

$f' (- 6) = 108 + 36 (- 6)$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $36$ por $- 6$ .

$f' (- 6) = 108 - 216$

Paso 6.2.2

Resta $216$ de $108$ .

$f' (- 6) = - 108$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 108$ .

$- 108$

Paso 6.3

En $x = - 6$ la derivada es $- 108$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- 12, 0)$ .

Decrecimiento en $(- 12, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} + 36 (1)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (1) = 3 \cdot 1 + 36 (1)$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (1) = 3 + 36 (1)$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $36$ por $1$ .

$f' (1) = 3 + 36$

Paso 7.2.2

Suma $3$ y $36$ .

$f' (1) = 39$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $39$ .

$39$

Paso 7.3

En $x = 1$ la derivada es $39$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(0, \infty)$ .

Incremento en $(0, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, - 12), (0, \infty)$

Decrecimiento en: $(- 12, 0)$

Paso 9