Cálculo Ejemplos

Hallar los puntos de inflexión f(x)=3x^4+4x^3
Paso 1
Obtener la segunda derivada.
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Paso 1.1
Obtén la primera derivada.
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Paso 1.1.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2
Evalúa .
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Paso 1.1.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.2.3
Multiplica por .
Paso 1.1.3
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.1.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.1.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.1.3.3
Multiplica por .
Paso 1.2
Obtener la segunda derivada.
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.1
Según la regla de la suma, la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.2
Evalúa .
Toca para ver más pasos...
Paso 1.2.2.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.2.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2.2.3
Multiplica por .
Paso 1.2.3
Evalúa .
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Paso 1.2.3.1
Como es constante con respecto a , la derivada de con respecto a es .
Paso 1.2.3.2
Diferencia con la regla de la potencia, que establece que es donde .
Paso 1.2.3.3
Multiplica por .
Paso 1.3
La segunda derivada de con respecto a es .
Paso 2
Establece la segunda derivada igual a luego resuelve la ecuación .
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Paso 2.1
Establece la segunda derivada igual a .
Paso 2.2
Factoriza de .
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Paso 2.2.1
Factoriza de .
Paso 2.2.2
Factoriza de .
Paso 2.2.3
Factoriza de .
Paso 2.3
Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a , la expresión completa será igual a .
Paso 2.4
Establece igual a .
Paso 2.5
Establece igual a y resuelve .
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Paso 2.5.1
Establece igual a .
Paso 2.5.2
Resuelve en .
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Paso 2.5.2.1
Resta de ambos lados de la ecuación.
Paso 2.5.2.2
Divide cada término en por y simplifica.
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Paso 2.5.2.2.1
Divide cada término en por .
Paso 2.5.2.2.2
Simplifica el lado izquierdo.
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Paso 2.5.2.2.2.1
Cancela el factor común de .
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Paso 2.5.2.2.2.1.1
Cancela el factor común.
Paso 2.5.2.2.2.1.2
Divide por .
Paso 2.5.2.2.3
Simplifica el lado derecho.
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Paso 2.5.2.2.3.1
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 2.6
La solución final comprende todos los valores que hacen verdadera.
Paso 3
Obtén los puntos donde la segunda derivada es .
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Paso 3.1
Sustituye en para obtener el valor de .
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Paso 3.1.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 3.1.2
Simplifica el resultado.
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Paso 3.1.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 3.1.2.1.1
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 3.1.2.1.2
Multiplica por .
Paso 3.1.2.1.3
Elevar a cualquier potencia positiva da como resultado .
Paso 3.1.2.1.4
Multiplica por .
Paso 3.1.2.2
Suma y .
Paso 3.1.2.3
La respuesta final es .
Paso 3.2
El punto que se obtiene mediante la sustitución de en es . Este puede ser un punto de inflexión.
Paso 3.3
Sustituye en para obtener el valor de .
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Paso 3.3.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 3.3.2
Simplifica el resultado.
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Paso 3.3.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 3.3.2.1.1
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
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Paso 3.3.2.1.1.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 3.3.2.1.1.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 3.3.2.1.2
Eleva a la potencia de .
Paso 3.3.2.1.3
Multiplica por .
Paso 3.3.2.1.4
Eleva a la potencia de .
Paso 3.3.2.1.5
Eleva a la potencia de .
Paso 3.3.2.1.6
Cancela el factor común de .
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Paso 3.3.2.1.6.1
Factoriza de .
Paso 3.3.2.1.6.2
Cancela el factor común.
Paso 3.3.2.1.6.3
Reescribe la expresión.
Paso 3.3.2.1.7
Usa la regla de la potencia para distribuir el exponente.
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Paso 3.3.2.1.7.1
Aplica la regla del producto a .
Paso 3.3.2.1.7.2
Aplica la regla del producto a .
Paso 3.3.2.1.8
Eleva a la potencia de .
Paso 3.3.2.1.9
Eleva a la potencia de .
Paso 3.3.2.1.10
Eleva a la potencia de .
Paso 3.3.2.1.11
Multiplica .
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Paso 3.3.2.1.11.1
Multiplica por .
Paso 3.3.2.1.11.2
Combina y .
Paso 3.3.2.1.11.3
Multiplica por .
Paso 3.3.2.1.12
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 3.3.2.2
Combina fracciones.
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Paso 3.3.2.2.1
Combina los numeradores sobre el denominador común.
Paso 3.3.2.2.2
Simplifica la expresión.
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Paso 3.3.2.2.2.1
Resta de .
Paso 3.3.2.2.2.2
Mueve el negativo al frente de la fracción.
Paso 3.3.2.3
La respuesta final es .
Paso 3.4
El punto que se obtiene mediante la sustitución de en es . Este puede ser un punto de inflexión.
Paso 3.5
Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.
Paso 4
Divide en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.
Paso 5
Sustituye un valor del intervalo en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.
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Paso 5.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 5.2
Simplifica el resultado.
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Paso 5.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 5.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 5.2.1.2
Multiplica por .
Paso 5.2.1.3
Multiplica por .
Paso 5.2.2
Resta de .
Paso 5.2.3
La respuesta final es .
Paso 5.3
En , la segunda derivada es . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo .
Incremento en ya que
Incremento en ya que
Paso 6
Sustituye un valor del intervalo en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.
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Paso 6.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 6.2
Simplifica el resultado.
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Paso 6.2.1
Simplifica cada término.
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Paso 6.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 6.2.1.2
Multiplica por .
Paso 6.2.1.3
Multiplica por .
Paso 6.2.2
Resta de .
Paso 6.2.3
La respuesta final es .
Paso 6.3
En , la segunda derivada es . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo .
Decrecimiento en desde
Decrecimiento en desde
Paso 7
Sustituye un valor del intervalo en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.
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Paso 7.1
Reemplaza la variable con en la expresión.
Paso 7.2
Simplifica el resultado.
Toca para ver más pasos...
Paso 7.2.1
Simplifica cada término.
Toca para ver más pasos...
Paso 7.2.1.1
Eleva a la potencia de .
Paso 7.2.1.2
Multiplica por .
Paso 7.2.1.3
Multiplica por .
Paso 7.2.2
Suma y .
Paso 7.2.3
La respuesta final es .
Paso 7.3
En , la segunda derivada es . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo .
Incremento en ya que
Incremento en ya que
Paso 8
Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son .
Paso 9